Un vrai savant met régulièrement au point des expériences pour obtenir l'opinion la plus correcte possible sur la question qu'il étudie. Il élabore ensuite sa théorie en exploitant ces expériences. Ce processus de la pensée est appelé habituellement induction. À l'instar de tout autre scientifique, un mathématicien utilise aussi des expériences, et par voie de conséquence de l'induction, lorsqu'il découvre une nouveauté (un résultat, un concept, une méthode…). Vous pouvez vous en convaincre vous-même en posant (sur un papier, ou de tête) la division euclidienne de 716 709 par 552. Le premier chiffre du quotient sera 1 (« dans 716 il y va une fois 552 »), mais pour trouver le chiffre suivant, vous allez devoir réaliser une expérience : « On dirait qu'il va y aller trois fois, mais peut-être que non ; essayons. » De fait, 3 est trop grand, il faudra recommencer avec 2…
Le choix du protocole ---------------------
Mais le mathématicien exploite au surplus un autre type de raisonnement, la déduction, lorsqu'il démontre les énoncés qu'il a trouvés (voir un précédent article). Comme l'explique très bien George Polya dans son livre les Mathématiques et le Raisonnement plausible, les expériences du mathématicien sont souvent de nature psychologique.
Dans l'étude inductive d'un problème, un scientifique observe les résultats d'expériences, avant d'émettre une hypothèse plausible confirmant les observations effectuées. Mais avant tout, il doit choisir un protocole expérimental adéquat. Par exemple, un biologiste doit se demander quelles espèces animales il doit étudier, dans quel milieu les animaux retenus pour son étude doivent être observés, dans quelles conditions les observations et expérimentations vont être réalisées… Des telles réflexions sont essentiellement de nature psychologique. Comme le constate Polya, « les mathématiques constituent, à plusieurs points de vue, la matière la plus appropriée à l'étude du raisonnement inductif. Cette étude implique des expériences psychologiques, telles que la recherche de la manière dont une hypothèse se trouve renforcée par différentes sortes de preuves. Grâce à leur simplicité et à leur clarté inhérentes, les problèmes mathématiques se prêtent à cette sorte d'expérimentation psychologique beaucoup mieux que les problèmes dans les autres domaines ».
Illustrons cette pensée par un exemple classique et facile à comprendre. Un biologiste souhaite étudier des reptiles. Il doit donc s'intéresser à leur mode de vie, à leur habitat… Bref, il doit bien connaître les animaux qui vont être l'objet de son étude et, comme l'écrit Polya, il doit peut-être même « les aimer ».