Pasar de la condición de conjetura (resultado no demostrado, del latín conjectura, procedente de cum y jacere, literalmente «arrojar con») a la de teorema exige a veces muchísimo tiempo: trescientos cincuenta años en el caso del «último teorema de Fermat», enunciado por su autor en la primera mitad del 17.º siglo y demostrado por completo por el matemático británico Andrew Wiles en 1995. Tres siglos y medio de investigaciones, a veces infructuosas, pero extraordinariamente fecundas por sus aportaciones a la teoría de números, por los nuevos conceptos que han transmitido y por las nuevas vías que han abierto. Por tanto, para las matemáticas no importa tanto la conjetura como la búsqueda de su demostración; las conjeturas que hoy se resisten son objeto de abundantes investigaciones, que pueden proporcionar resultados, incluso intermedios, muy fructíferos.
Conjeturas valiosas ----------------------
Las primeras cuestiones abiertas que encontramos proceden a menudo de la teoría de números. Sin embargo, hay conjeturas célebres en todas las ramas de las matemáticas, desde la geometría hasta la combinatoria, pasando por los sistemas dinámicos, las ecuaciones en derivadas parciales, la teoría de conjuntos, la lógica o la topología.
Uno de los primeros problemas no resueltos que vienen a la mente en teoría de números es la conjetura de Siracusa, o problema 3n + 1. Propuesto por el matemático alemán Lothar Collatz hacia 1937 y difundido después en un coloquio de la Universidad de Siracusa —de ahí su nombre—, en Estados Unidos, durante los años cincuenta, se enuncia sencillamente así: elija un entero estrictamente positivo, divídalo entre 2 si es par, multiplíquelo por 3 y súmele 1 si es impar; después repita el proceso con el resultado obtenido. La conjetura, verificada para todos los enteros hasta 2⁶⁸ (aproximadamente 2,95 × 10 20 ) tras los recientes trabajos de David Barina (2020), afirma que siempre se acaba alcanzando el número 1. Partiendo de 11 se obtiene, por ejemplo, la sucesión: 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Si se parte de 27, hacen falta ciento once etapas para llegar a 1. Sin embargo, un enunciado sencillo puede entrañar una solución complicada, y lo cierto es que esta conjetura sigue sin contar con una demostración completa. Se avanza poco a poco: en 2003, Ilia Krasikov y Jeffrey Lagarias demuestran que, para todo entero X suficientemente grande, el número de enteros inferiores a X que llegan a 1 es al menos igual a X 0,84. Terence Tao realizó en 2019 y 2020 otros avances convincentes y espectaculares (véase el número especial 76 de Tangente, actualmente a la venta, dedicado a Procesos iterativos, recurrencia, recursividad).