Passare dallo stato di congettura (risultato non dimostrato, dal latino conjectura, derivato da cum e jacere, letteralmente «gettare con») a quello di teorema richiede talvolta tempi molto lunghi: trecentocinquant’anni per l’«ultimo teorema di Fermat», enunciato dal suo autore nella prima metà del 17º secolo e dimostrato integralmente dal matematico britannico Andrew Wiles nel 1995. Tre secoli e mezzo di ricerche, talvolta infruttuose, ma quanto mai feconde per i contributi alla teoria dei numeri, i nuovi concetti che hanno veicolato e le nuove strade che hanno aperto. Per la matematica, dunque, non conta tanto la congettura quanto la ricerca della sua dimostrazione, e le congetture che ancora resistono sono oggi oggetto di abbondanti ricerche, capaci di dare risultati, anche intermedi, assai fruttuosi.
Congetture preziose ----------------------
Le prime questioni aperte che si incontrano provengono spesso dalla teoria dei numeri. Eppure esistono celebri congetture in tutti i rami della matematica, dalla geometria alla combinatoria, passando per i sistemi dinamici, le equazioni alle derivate parziali, la teoria degli insiemi, la logica e la topologia.
Uno dei primi problemi irrisolti a cui si pensa nella teoria dei numeri è la congettura di Siracusa, o problema 3n + 1. Proposto dal matematico tedesco Lothar Collatz intorno al 1937, poi divulgato durante un convegno all’università di Syracuse (da cui il nome), negli Stati Uniti, negli anni Cinquanta, si enuncia semplicemente così: scegliete un numero intero strettamente positivo, dividetelo per 2 se è pari, moltiplicatelo per 3 e aggiungete 1 se è dispari, poi ricominciate con il risultato ottenuto. La congettura, verificata per tutti gli interi fino a 268 (circa 2,95 × 10 20 ) in seguito ai recenti lavori di David Barina (2020), afferma che si finisce sempre per raggiungere il numero 1. Partendo da 11, si ottiene per esempio la successione: 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Partendo da 27, occorrono centoundici passaggi per arrivare a 1. Tuttavia, un enunciato semplice può talvolta avere una soluzione complicata, e resta il fatto che questa congettura non possiede ancora una dimostrazione completa. Si avanza a piccoli passi: nel 2003 Ilia Krasikov e Jeffrey Lagarias dimostrano che il numero di interi minori di X che giungono a 1 è almeno pari a X 0,84 per ogni intero X sufficientemente grande. Terence Tao, nel 2019 e nel 2020, ha compiuto altri progressi convincenti e spettacolari (vedi il fuori serie 76 di Tangente, attualmente in vendita, sul tema Processi iterativi, ricorrenza, ricorsività).