Passer du statut de conjecture (résultat non démontré, du latin conjectura, issu de cum et jacere, littéralement « jeter avec ») à celui de théorème exige parfois un temps très long : trois cent cinquante ans pour le « dernier théorème de Fermat », énoncé par son auteur dans la première moitié du XVIIe siècle, démontré complètement par le mathématicien britannique Andrew Wiles en 1995. Trois siècles et demi de recherches, parfois infructueuses, mais ô combien fécondes par leurs apports en théorie des nombres, les nouveaux concepts qu’elles ont véhiculés, les nouvelles voies qu’elles ont ouvertes. Ce n’est donc pas tant la conjecture que la recherche de sa démonstration qui importe aux mathématiques, et les conjectures qui résistent aujourd’hui sont l’objet d’abondantes recherches, pouvant donner des résultats, même intermédiaires, très fructueux.

Précieuses conjectures

Les premières questions ouvertes que l’on rencontre sont souvent issues de la théorie des nombres. Pourtant, il existe des conjectures fameuses dans toutes les branches des mathématiques, de la géométrie à la combinatoire en passant par les systèmes dynamiques, les équations aux dérivées partielles, la théorie des ensembles, la logique ou encore la topologie.
L’un des premiers problèmes non résolus auquel on pense en théorie des nombres est la conjecture de Syracuse, ou problème 3n + 1. Proposé par le mathématicien allemand Lothar Collatz vers 1937, puis diffusé lors d’un colloque à l’université de Syracuse (d’où son nom) aux États-Unis dans les années 1950, il s’énonce simplement : choisissez un entier strictement positif, divisez-le par 2 s’il est pair, multipliez-le par 3 et ajoutez 1 s’il est impair, puis recommencez avec le résultat obtenu. La conjecture, vérifiée pour tous les entiers jusqu’à 268 (environ 2,95 × 10 20) suite aux récents travaux de David Barina (2020), affirme que l’on finit toujours par atteindre le nombre 1. En partant de 11, on obtient par exemple la suite : 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Pour un départ de 27, il faut cent onze étapes pour arriver à 1. Cependant, qui dit énoncé simple dit parfois solution compliquée, et le fait est que cette conjecture n’a toujours pas de démonstration complète. On progresse par petites touches : en 2003, Ilia Krasikov et Jeffrey Lagarias prouvent que le nombre d’entiers inférieurs à X aboutissant à 1 est au moins égal à X 0,84 pour tout entier X assez grand. Terence Tao, en 2019 et 2020, a réalisé d’autres avancées convaincantes et spectaculaires (voir le hors-série 76 de Tangente, actuellement en vente, sur le thème Processus itératifs, récurrence, récursivité).