Al-Farisi

Entre 1267 et environ 1320, le savant persan Kamal al-Din al-Farisi travaille sur deux problèmes très différents. Il suit la lumière lorsqu'elle entre dans une goutte d'eau, s'y réfléchit, puis en ressort : ce trajet rend compte de l'arc-en-ciel. Il étudie aussi les entiers 17 296 et 18 416. La somme des diviseurs propres de chacun redonne l'autre, ce qui en fait des nombres amiables.

Ces deux recherches ont un même ressort : décomposer un phénomène en étapes contrôlables, qu'il s'agisse du trajet d'un rayon lumineux ou des facteurs premiers d'un nombre.

Kamal al-Din al-Farisi est un mathématicien et physicien persan né en 1267 et mort vers 1320. Élève de Qutb al-Din al-Shirazi, lui-même disciple d'Al-Tusi, il est l'auteur du Tanqih Kitab al-Manazir, une révision du traité d'optique d'Ibn al-Haytham. Sa théorie de l'arc-en-ciel repose sur un trajet précis : la lumière est réfractée une première fois en entrant dans une goutte d'eau, subit une ou plusieurs réflexions internes, puis est réfractée une seconde fois en ressortant.

En théorie des nombres, Al-Farisi obtient le couple amiable 17 296 et 18 416 par une démarche combinatoire fondée sur la décomposition en facteurs premiers. Deux entiers sont amiables lorsque la somme des diviseurs positifs de chacun, sans compter le nombre lui-même, est égale à l'autre. Les factorisations utiles sont $17296=2^4\times 23\times 4717296=2^4\backslash times23\backslash times47$ et $18416=2^4\times 115118416=2^4\backslash times1151$, où 23, 47 et 1 151 sont premiers. Ce couple est généralement attribué à Euler dans la source, bien que le travail d'Al-Farisi soit antérieur.

Al-Farisi établit également des relations entre nombres polygonaux et coefficients binomiaux. Cette contribution est distincte du calcul des nombres amiables : elle relie deux familles d'objets arithmétiques sans les confondre.

Vérifions le couple 17 296 et 18 416. Les données sont leurs décompositions en facteurs premiers : $17296=2^4\times 23\times 4717296=2^4\backslash times23\backslash times47$ et $18416=2^4\times 115118416=2^4\backslash times1151$. Les nombres 23, 47 et 1 151 sont premiers.

1. La somme de tous les diviseurs positifs de 17 296 se calcule en choisissant une puissance de 2, puis éventuellement les facteurs 23 et 47 :

2. Pour ne garder que les diviseurs propres, on retire 17 296 lui-même :

3. Pour 18 416, le même calcul donne :

4. En retirant 18 416, il reste $35712-18416=1729635712-18416=17296$. Le contrôle fonctionne donc dans les deux sens : la somme des diviseurs propres de chaque entier est exactement l'autre. C'est le critère qui établit que 17 296 et 18 416 sont amiables.

Pour suivre l'explication optique d'Al-Farisi, on découpe le trajet lumineux aux frontières de la goutte. Un passage de l'air à l'eau ou de l'eau à l'air indique une réfraction ; un changement de direction sans sortie de la goutte indique une réflexion interne.

Pour contrôler le couple 17 296 et 18 416, la liste exhaustive des diviseurs est possible, mais la décomposition en facteurs premiers est plus directe. Elle permet de calculer la somme de tous les diviseurs, puis de retrancher l'entier afin d'obtenir la somme de ses diviseurs propres.

Pour situer Al-Farisi dans l'histoire des mathématiques, il faut distinguer le résultat de son attribution ultérieure. Le test pertinent est documentaire : le couple amiable apparaît dans son travail, même si la source signale qu'il est généralement attribué à Euler.

Réfraction et réflexion interne. La réfraction se produit ici lorsque la lumière franchit la frontière de la goutte ; la réflexion interne la renvoie à l'intérieur. Le trajet décrit par Al-Farisi comporte deux réfractions et une ou plusieurs réflexions internes.

Nombre amiable et membre isolé du couple. Le caractère amiable ne se lit pas sur 17 296 seul. Il faut vérifier les deux sommes de diviseurs propres : celle de 17 296 donne 18 416, et celle de 18 416 redonne 17 296.

Travail d'Al-Farisi et attribution à Euler. Une attribution courante ne fixe pas à elle seule l'antériorité. Dans la source de cette fiche, le couple 17 296–18 416 est découvert par Al-Farisi et signalé comme généralement attribué à Euler.

Un mécanisme, pas tous les détails visibles. Les deux réfractions et la ou les réflexions internes décrivent le trajet lumineux retenu par Al-Farisi. La source ne précise ni l'ordre des couleurs ni les angles du phénomène ; il ne faut donc pas les déduire de cette seule description.

Une ou plusieurs réflexions. Le nombre de réflexions internes n'est pas fixé à une valeur unique dans la source. Remplacer cette formulation par « une réflexion » ferait disparaître un cas explicitement conservé par le traité tel qu'il est résumé ici.

Une vérification n'est pas une règle générale. Les factorisations de 17 296 et 18 416 prouvent que ce couple précis est amiable. Elles ne permettent pas de conclure que deux entiers quelconques construits avec des facteurs premiers seront amiables ; les deux sommes doivent être contrôlées.

Une date approximative. L'année 1267 est donnée pour la naissance, tandis que la mort est située vers 1320. Écrire 1320 comme une date certaine supprimerait l'incertitude présente dans la source.

Nombres amiables — Approfondir le critère des sommes de diviseurs propres illustré par le couple d'Al-Farisi.

Factorisation — Revoir la décomposition en facteurs premiers qui rend la vérification arithmétique efficace.

Nombres polygonaux — Situer l'autre famille de nombres qu'Al-Farisi relie aux coefficients binomiaux.

Angle de réfraction — Préciser le changement de direction de la lumière lorsqu'elle franchit la frontière d'une goutte.