ArithmétiqueNotion · Glossaire
Amicaux
Deux entiers naturels a et b sont dits amicaux (ou amiables) si la somme des diviseurs propres de a est égale à b, et réciproquement la somme des diviseurs propres de b est égale à a. Les diviseurs propres d'un entier n sont ses diviseurs positifs strictement inférieurs à n. Le premier couple de nombres amicaux connu depuis l'Antiquité est (220, 284) : les diviseurs propres de 220 sont 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 dont la somme vaut 284, et réciproquement. La notion généralise celle de nombre parfait.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir les nombres amicaux à partir des diviseurs propres.
- Recalculer les deux sommes qui relient 220 et 284.
- Distinguer un couple amical d'un nombre parfait.
En clair
Prenez 220 et mettez de côté 220 lui-même. Additionnez tous les diviseurs positifs de 220 : le total est 284. Faites ensuite le même geste avec 284, sans compter 284 : le total revient à 220.
Cette relation aller-retour fait de 220 et 284 des nombres amicaux, aussi appelés nombres amiables. Chacun est ainsi relié à l'autre par la somme de ses diviseurs propres.
Définition
Un diviseur propre d'un entier naturel strictement positif est un diviseur positif strictement plus petit que cet entier. Pour un entier naturel strictement positif n, notons s(n) la somme de ses diviseurs propres. Deux entiers naturels strictement positifs a et b sont amicaux, ou amiables, lorsque les deux conditions réciproques sont satisfaites : .
La vérification porte donc sur tous les diviseurs propres des deux nombres, pas seulement sur quelques facteurs. Dans le couple 220 et 284, la somme associée à 220 vaut 284 et celle associée à 284 vaut 220. Une seule des deux égalités ne suffit pas à établir la relation.
La notion prolonge celle de nombre parfait. Un nombre parfait est renvoyé sur lui-même par la somme de ses diviseurs propres, tandis que l'exemple amical de référence forme un aller-retour entre deux nombres.
Un exemple, pas à pas
On veut contrôler le couple proposé (220, 284). Les données sont les deux entiers 220 et 284, ainsi que la règle qui exclut le nombre lui-même de sa liste de diviseurs propres.
1. Les diviseurs propres de 220 sont 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 et 110.
2. Leur somme donne le partenaire annoncé :
3. Les diviseurs propres de 284 sont 1, 2, 4, 71 et 142. Leur somme se calcule par .
4. Le contrôle est complet : chaque somme atteint exactement l'autre entier. Les deux égalités réciproques confirment que 220 et 284 sont amicaux.
En pratique
Pour tester un couple donné, on dresse la liste complète des diviseurs propres de chaque entier, puis on calcule les deux sommes. Si une seule somme atteint l'autre nombre, le test s'arrête : le couple n'est pas amical.
Pour contrôler une liste sans oublier de diviseur, on cherche les diviseurs par paires de facteurs. Par exemple, 2 et 110 vont ensemble pour 220, car leur produit vaut 220.
Si la somme des diviseurs propres revient au nombre de départ plutôt qu'à un partenaire, le critère observable conduit au nombre parfait. Cette distinction évite de conclure trop vite à partir d'une seule somme.
À ne pas confondre
Nombre parfait. La somme de ses diviseurs propres est égale au nombre lui-même. Pour des nombres amicaux comme 220 et 284, cette somme atteint l'autre membre du couple.
Diviseurs propres et diviseurs. La liste de tous les diviseurs contient aussi l'entier étudié ; la liste des diviseurs propres l'exclut. Ajouter 220 à la somme des diviseurs propres de 220 fausse donc le test.
Limites et pièges
Une relation à sens unique ne suffit pas. Le symptôme est une première somme correcte, sans contrôle du retour. Il faut toujours calculer la somme des diviseurs propres des deux entiers.
L'entier lui-même doit être retiré. Pour 284, conserver 284 parmi les termes ferait perdre le total 220 recherché. Il faut additionner seulement 1, 2, 4, 71 et 142.
Le mot « couple » n'abrège pas la preuve. Deux nombres proches, ou choisis ensemble, ne sont pas amicaux pour autant. Le seul verdict vient des deux sommes exactes et réciproques.
Pour aller plus loin
Le glossaire nombre parfait présente le cas où la somme des diviseurs propres revient au nombre de départ.
L'article Connaître les diviseurs... sans diviser approfondit la recherche des diviseurs nécessaires au calcul.
L'article À la recherche des copains prolonge l'exploration des nombres parfaits et des nombres amicaux.
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