suite aliquote

Prenez 12 et listez ses diviseurs plus petits que lui : 1, 2, 3, 4 et 6. Leur somme vaut 16. Recommencez avec 16, dont les diviseurs propres donnent 15, puis poursuivez de la même manière.

La suite aliquote est cette chaîne de résultats. Chaque nombre dépend donc entièrement du précédent. Si la chaîne atteint 1, le calcul s'arrête, car aucun diviseur propre ne permet de fabriquer un terme suivant.

Pour un entier positif n, un diviseur propre est un diviseur positif d strictement inférieur à n. On note s(n) la somme de ces diviseurs. Si a_k désigne le terme de rang k, une suite aliquote s'obtient, tant que a_k est strictement supérieur à 1, en appliquant cette même somme à chaque étape :

Le terme initial détermine toute la suite. Par convention dans cette fiche, la construction s'arrête dès que 1 apparaît. Un nombre parfait produit au contraire un point fixe : sa somme de diviseurs propres est le nombre lui-même. Une famille de nombres sociables produit un cycle : chaque somme conduit au membre suivant, puis la chaîne revient à son point de départ. La conjecture de Catalan affirme que toute suite aliquote finit par atteindre 1, un nombre parfait ou un tel cycle. Cette classification reste une conjecture, et non un résultat démontré dans tous les cas.

Une suite aliquote réunit cinq éléments. Le terme initial lance la chaîne. Les diviseurs propres d'un terme fournissent les nombres à additionner. Leur somme devient le terme suivant. L'itération répète ce passage sans changer de règle. Enfin, un comportement observé apparaît : arrêt à 1, stationnement sur un nombre parfait ou cycle de nombres sociables.

Le terme initial commande donc la première liste de diviseurs, et chaque somme commande à son tour la liste suivante. Sans la condition « strictement inférieur », le terme lui-même entrerait dans la somme et la construction ne serait plus celle décrite ici. Ces données suffisent à calculer la chaîne pas à pas et à reconnaître l'un des trois comportements lorsqu'il se manifeste.

On choisit 12 comme terme initial. À chaque étape, les seules données utilisées sont le terme obtenu et la liste complète de ses diviseurs propres.

1. Pour 12 : 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16.
2. Pour 16 : 1 + 2 + 4 + 8 = 15.
3. Pour 15 : 1 + 3 + 5 = 9.
4. Pour 9 : 1 + 3 = 4.
5. Pour 4 : 1 + 2 = 3.
6. Pour 3 : 1 = 1.

La suite obtenue est donc 12, 16, 15, 9, 4, 3, 1, puis elle s'arrête. Pour contrôler le calcul, on peut reprendre chaque flèche séparément : tous les diviseurs inscrits divisent le terme de départ, aucun n'est égal à ce terme, et leur somme donne exactement le terme d'arrivée. Le schéma associé rend visibles les quatre premières transitions de cette vérification.

Pour construire une suite à la main, on commence par écrire tous les diviseurs propres du terme courant. On les additionne, puis on recommence avec la somme obtenue. Refaire la division de chaque candidat par le terme courant permet de contrôler qu'aucun intrus n'a été ajouté.

Pour suivre le comportement de la chaîne, on conserve les termes déjà rencontrés. L'apparition de 1 impose l'arrêt décrit ici. La répétition immédiate du même terme signale un nombre parfait ; le retour à un terme plus ancien après plusieurs étapes signale un cycle de nombres sociables. Tant qu'aucun de ces signes n'apparaît, on poursuit l'itération sans annoncer sa destination.

Suite aliquote et liste des diviseurs propres. La liste 1, 2, 3, 4, 6 décrit les diviseurs propres de 12. La suite aliquote ne conserve que leur somme, 16, puis répète l'opération sur ce nouveau terme.

Nombre parfait et nombres sociables. Dans une suite issue d'un nombre parfait, un seul terme se répète immédiatement parce que sa somme vaut lui-même. Dans une famille sociable, plusieurs termes peuvent se succéder avant le retour au premier. Pour trancher entre ces deux situations, on repère le premier terme qui se répète et on mesure le cycle ainsi refermé : sa longueur vaut 1 pour un point fixe et est supérieure à 1 pour un cycle non trivial.

Départ à 1. La suite est déjà au point d'arrêt. Il ne faut pas inventer un terme suivant : dans la convention donnée, 1 n'a aucun diviseur propre et la construction s'arrête.

Point fixe. Pour 6, les diviseurs propres 1, 2 et 3 ont pour somme 6. Le symptôme est une répétition immédiate, 6 puis 6 ; il faut la reconnaître comme le stationnement sur un nombre parfait, et non comme une absence de calcul.

Conjecture et observation. Les trois devenirs annoncés forment la conjecture de Catalan. Tant qu'un calcul n'a atteint ni 1 ni une répétition, il ne prouve pas lequel surviendra. Il faut distinguer le comportement déjà observé de la conclusion générale encore conjecturale.

Le glossaire « nombre parfait » approfondit le cas où l'itération reste bloquée sur une seule valeur et détaille le critère qui produit ce point fixe.

L'article « À la recherche des copains » prolonge l'exploration des liens entre nombres construits à partir de leurs diviseurs.