ArithmétiqueThéorème · Glossaire
Conjecture de Syracuse
La conjecture de Syracuse (ou conjecture de Collatz) porte sur la suite définie par : si n est pair, on divise par 2 ; si n est impair, on multiplie par 3 et on ajoute 1. La conjecture affirme que, quel que soit l'entier de départ strictement positif, la suite finit toujours par atteindre la valeur 1. Malgré sa formulation élémentaire, cette conjecture reste non démontrée à ce jour et résiste aux approches habituelles de la théorie des nombres. Elle a été vérifiée pour des entiers extrêmement grands.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Appliquer correctement la division par 2 aux termes pairs et l’opération 3n+1 aux termes impairs.
- Recalculer la trajectoire complète de 6 jusqu’à sa première arrivée à 1.
- Identifier le domaine des entiers strictement positifs et écarter correctement le cas 0.
- Distinguer une suite particulière de l’affirmation universelle portée par la conjecture.
- Expliquer pourquoi des vérifications sur de très grands entiers ne constituent pas une démonstration générale.
En clair
Prenez le nombre 6. Il est pair, donc divisez-le par 2 : vous obtenez 3. Comme 3 est impair, multipliez-le par 3 et ajoutez 1 : vous obtenez 10. En répétant le geste, la chaîne devient 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.
La conjecture de Syracuse affirme que ce retour à 1 se produit pour tout entier de départ strictement positif. Chaque départ essayé peut réussir, sans que ces essais suffisent à prouver l’affirmation pour l’infinité des entiers.
Définition
La suite de Syracuse est une suite d’entiers construite à partir d’un entier strictement positif. Le terme de départ est noté u0. Pour chaque rang entier k ≥ 0, le terme suivant uk+1 dépend de la parité du terme courant uk : Ces deux opérations conservent des valeurs entières strictement positives.
La conjecture de Syracuse, aussi appelée conjecture de Collatz ou problème 3x+1, est l’affirmation selon laquelle toute suite ainsi obtenue atteint finalement 1. À partir de 1, la règle produit ensuite le cycle 1 → 4 → 2 → 1. « Atteindre 1 » suffit donc à décrire le comportement attendu à long terme.
Cette affirmation reste non démontrée et résiste aux approches habituelles de la théorie des nombres, malgré sa règle élémentaire. Des vérifications portant sur des entiers extrêmement grands confortent la conjecture, mais une vérification finie ne prouve pas une proposition qui concerne tous les entiers strictement positifs.
Le principe
Soit u0 un entier strictement positif. Pour chaque rang entier k ≥ 0, on définit le terme suivant par la règle :
La conjecture affirme qu’il existe toujours un rang k pour lequel uk = 1. Cette conclusion est proposée pour tout entier initial strictement positif, mais elle n’est pas encore démontrée.
Quand l'utiliser
La règle s’applique lorsque le départ est un entier strictement positif. À chaque étape, il faut connaître le terme courant et déterminer s’il est pair ou impair. Une seule des deux opérations s’applique alors, et le résultat devient le terme suivant.
Le cas u0 = 0 ne vérifie pas l’hypothèse : la division par 2 redonne toujours 0, si bien que la suite n’atteint pas 1. Ce n’est pas un contre-exemple à la conjecture, car 0 n’est pas strictement positif ; il faut revenir au domaine annoncé.
Un départ non entier sort également du cadre : les mots pair et impair n’y déterminent pas la branche à choisir. La conjecture ne fournit donc aucune conclusion pour les nombres réels non entiers ou pour les entiers négatifs.
Un exemple, pas à pas
Donnée. Le terme initial est l’entier strictement positif u0 = 6. À chaque étape, la parité du résultat indique l’opération suivante.
1. 6 est pair, donc 6 ÷ 2 = 3. Puis 3 est impair, donc 3 × 3 + 1 = 10.
2. 10 est pair, donc 10 ÷ 2 = 5. Puis 5 est impair, donc 5 × 3 + 1 = 16.
3. Les termes 16, 8 et 4 sont pairs : 16 ÷ 2 = 8, puis 8 ÷ 2 = 4, puis 4 ÷ 2 = 2.
4. Le terme 2 est pair, donc 2 ÷ 2 = 1. La trajectoire complète est 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.
Contrôle. Chaque flèche respecte la branche dictée par la parité du nombre qui la précède. En poursuivant après 1, on calcule 1 × 3 + 1 = 4, puis 4 ÷ 2 = 2 et 2 ÷ 2 = 1. Le tracé de la trajectoire montre aussi qu’elle monte jusqu’à 16 avant de redescendre vers 1.
En pratique
Pour explorer un petit départ, écrivez chaque terme et vérifiez sa parité avant de choisir l’opération. Le calcul à la main convient à la trajectoire de 6 ; un programme devient préférable lorsque le départ ou le nombre de trajectoires rend la liste trop longue à suivre sans erreur.
Pour contrôler une trajectoire annoncée, examinez chaque transition séparément : une valeur paire doit être divisée par 2, une valeur impaire doit donner trois fois cette valeur plus 1. Cette vérification locale repère une erreur de calcul, mais elle ne remplace pas une preuve lorsque la question porte sur tous les entiers positifs.
À ne pas confondre
Conjecture et théorème. Une conjecture est une affirmation proposée sans démonstration générale connue ; un théorème est établi par une preuve. Vérifier la règle sur un très grand nombre de départs soutient donc la conjecture de Syracuse, sans la transformer en théorème.
Suite de Syracuse et conjecture de Syracuse. La suite est la trajectoire produite depuis un départ donné ; la conjecture porte sur toutes ces trajectoires. Le calcul 6 → … → 1 établit le résultat pour le seul départ 6, pas pour chaque entier strictement positif.
Limites et pièges
Atteindre 1 ne signifie pas s’y arrêter. Avec la règle donnée, 1 est impair et produit 4, puis 4 produit 2 et 2 produit 1. Une trajectoire arrivée à 1 entre donc dans le cycle 1 → 4 → 2 → 1 ; on peut arrêter le calcul à la première occurrence de 1.
Une trajectoire n’est pas nécessairement décroissante. Depuis 6, elle atteint 16 avant de revenir vers 1. Une hausse momentanée ne signale donc ni une erreur ni un contre-exemple ; il faut vérifier la parité et l’opération de chaque transition.
Le seuil du domaine est 1. Les entiers de départ admis sont 1, 2, 3, …, mais pas 0. La suite constamment égale à 0 reste hors du champ de la conjecture et ne peut pas servir à la réfuter.
Une vérification, même immense, reste finie. Elle confirme seulement les départs effectivement testés. Comme la conjecture vise l’ensemble infini des entiers strictement positifs, seule une démonstration générale — ou un véritable contre-exemple dans ce domaine — peut trancher l’affirmation.
Pour aller plus loin
conjecture — Distinguer une affirmation étayée par des observations d’un résultat établi par une démonstration.
Entiers naturels — Revoir le domaine discret auquel s’appliquent la parité et la règle de Syracuse.
Un siècle de conjectures — Situer le problème de Syracuse parmi d’autres affirmations mathématiques longtemps restées ouvertes.
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