AnalyseNotion · Glossaire
Problème 3x+1
Le problème 3x+1, aussi appelé conjecture de Collatz, est un problème ouvert en arithmétique. Il concerne la suite définie par : si n est pair, on divise par 2 ; si n est impair, on remplace n par 3n+1. La conjecture affirme que pour tout entier de départ positif, la suite finit toujours par atteindre 1. Cette conjecture a été vérifiée numériquement pour de très grands entiers mais n'a pas encore été prouvée ni réfutée en toute généralité.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Appliquer les deux branches de la règle selon la parité du terme courant.
- Recalculer la trajectoire de 6 jusqu'à 1 en huit étapes.
- Formuler précisément la conjecture pour tous les entiers de départ positifs.
- Distinguer atteindre 1, converger vers 1, vérifier des cas et prouver l'énoncé général.
- Repérer les pièges liés au domaine, au cas initial 1 et aux hausses intermédiaires.
En clair
Prenez le nombre 6. Comme il est pair, divisez-le par 2 : vous obtenez 3. Ce nombre est impair, alors triplez-le et ajoutez 1 : vous obtenez 10. En recommençant selon la parité du résultat, la chaîne se poursuit par 5, 16, 8, 4, 2, puis 1.
La conjecture de Collatz affirme que ce retour à 1 se produit quel que soit l'entier positif choisi au départ. Les calculs peuvent le confirmer pour chaque nombre testé, mais aucun raisonnement général connu ne couvre encore tous les entiers positifs.
Définition
Le problème 3x+1 porte sur une suite d'entiers positifs. On choisit un entier positif initial, noté n0. Pour chaque indice k, le terme suivant nk+1 dépend de la parité du terme courant nk :
La conjecture affirme que, pour toute valeur positive de n0, il existe un indice k pour lequel nk = 1. « Problème 3x+1 », « conjecture de Collatz » et « suite de Syracuse » renvoient ici à cette même itération et à la question de l'arrivée à 1.
Le domaine est essentiel : l'affirmation donnée concerne les entiers de départ strictement positifs. Elle a été vérifiée numériquement pour de très grands entiers, mais une quantité finie de tests ne prouve pas un énoncé portant sur tous les entiers positifs. Le problème reste donc ouvert : aucune preuve ni réfutation générale n'est acquise.
Un exemple, pas à pas
On part de l'entier positif n0 = 6. Les seules données nécessaires sont la valeur courante et sa parité ; chaque nouvelle valeur devient l'entrée de l'étape suivante.
1. 6 est pair : 6/2 = 3.
2. 3 est impair : 3 × 3 + 1 = 10.
3. 10 est pair : 10/2 = 5.
4. 5 est impair : 3 × 5 + 1 = 16.
5. Trois divisions successives donnent 16/2 = 8, 8/2 = 4 et 4/2 = 2.
6. Enfin, 2 est pair : 2/2 = 1.
2. 3 est impair : 3 × 3 + 1 = 10.
3. 10 est pair : 10/2 = 5.
4. 5 est impair : 3 × 5 + 1 = 16.
5. Trois divisions successives donnent 16/2 = 8, 8/2 = 4 et 4/2 = 2.
6. Enfin, 2 est pair : 2/2 = 1.
La trajectoire complète est donc 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. Elle atteint 1 après huit applications de la règle. Le schéma associe à chaque flèche l'opération effectivement utilisée.
Pour contrôler le calcul, vérifiez chaque transition indépendamment : les valeurs paires sont exactement divisées par 2, tandis que 3 et 5 donnent respectivement 10 et 16 par la règle 3n + 1.
En pratique
Pour explorer une valeur à la main, notez chaque terme et sa parité avant d'appliquer la règle. Si la liste devient longue, un petit programme est préférable : il répète le calcul sans perdre de terme et peut s'arrêter dès que 1 apparaît.
Pour comparer plusieurs départs, relevez un critère précis, par exemple le nombre d'étapes avant 1 ou la plus grande valeur rencontrée. Une simple liste suffit pour une trajectoire ; un graphique devient utile lorsque l'on veut voir ses montées et ses descentes.
Pour examiner la conjecture elle-même, distinguez toujours expérience et preuve. Le calcul tranche un cas de départ donné ; seul un argument valable pour tous les entiers positifs pourrait résoudre le problème général.
À ne pas confondre
Une vérification numérique et une preuve. Obtenir 1 pour 6, puis pour beaucoup d'autres départs, certifie uniquement les cas calculés. Une preuve devrait couvrir d'un même raisonnement chaque entier positif, y compris ceux qui n'ont pas été testés.
Atteindre 1 et converger vers 1. La conjecture demande qu'un terme soit égal à 1. Si l'on continue ensuite l'itération, 1 donne 4, puis 2, puis 1 : la suite devient périodique au lieu de tendre vers 1 au sens habituel d'une limite.
Limites et pièges
Le départ n'est pas strictement positif. L'énoncé source ne concerne ni 0 ni les entiers négatifs. Appliquer formellement la règle à ces valeurs ne permet donc pas d'en tirer une conclusion sur la conjecture formulée pour les entiers positifs.
Le départ vaut 1. Le but est atteint dès l'indice 0, sans aucune opération. Si le calcul continue, la trajectoire suit 1 → 4 → 2 → 1 ; il faut donc annoncer si l'on arrête la suite au premier 1.
Une trajectoire monte avant de redescendre. Dans l'exemple, 5 devient 16 avant que les divisions conduisent à 1. Une hausse locale n'est ni un contre-exemple ni une preuve d'arrivée future ; poursuivez la règle sans supposer une décroissance à chaque étape.
Un grand ensemble de tests réussit. Le symptôme trompeur est de conclure « donc tous les entiers ». Même une vérification portant sur de très grands entiers reste finie ; il faut la présenter comme un résultat numérique, pas comme la preuve manquante.
Pour aller plus loin
conjecture — Situer le problème 3x+1 parmi les énoncés mathématiques soutenus par des indices mais encore sans preuve générale.
système dynamique — Replacer l'itération d'une même règle et l'étude de ses trajectoires dans un cadre conceptuel plus large.
arithmétique — Relier les opérations sur les entiers et la parité au domaine mathématique dans lequel s'inscrit ce problème ouvert.
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