nombre syracusien

On part d'un entier naturel strictement positif et on lui applique toujours la même règle. S'il est pair, on le divise par 2 ; s'il est impair, on le multiplie par 3 puis on ajoute 1. Le résultat devient le nouveau nombre auquel on applique la règle.

Le nombre 6 donne ainsi 3, puis 10, puis 5. La suite continue avec 16, 8, 4, 2 et enfin 1. Comme cette suite atteint 1, 6 est syracusien.

Pour un entier naturel strictement positif n, l'algorithme de Syracuse associe au nombre n la valeur suivante : n/2 lorsque n est pair, et 3n + 1 lorsque n est impair. On répète cette transformation sur chaque résultat. Un nombre est dit syracusien lorsque cette itération atteint 1.

La suite obtenue à partir de n est appelée suite de Syracuse, ou suite de Collatz. La conjecture de Syracuse affirme que, pour tout entier naturel strictement positif considéré, cette suite finit par atteindre 1. Elle distingue donc une propriété vérifiée par un calcul donné d'une affirmation générale qui reste ouverte.

Vérifions le comportement de 6. Le nombre 6 est pair, donc sa valeur suivante est 6 ÷ 2 = 3.

Le nombre 3 est impair, donc sa valeur suivante est 3 × 3 + 1 = 10. Le nombre 10 est pair et donne 10 ÷ 2 = 5.

Le nombre 5 est impair et donne 5 × 3 + 1 = 16. Les divisions successives donnent ensuite 16 ÷ 2 = 8, 8 ÷ 2 = 4, 4 ÷ 2 = 2 et 2 ÷ 2 = 1. La chaîne complète est donc 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. Le calcul confirme que 6 est syracusien.

Pour étudier un entier naturel strictement positif, on écrit sa valeur de départ, on regarde sa parité, puis on applique la règle correspondante. Chaque résultat est ajouté à la suite jusqu'à l'apparition de 1 ou jusqu'à ce que le calcul doive être interrompu.

Le calcul de 6 montre pourquoi il faut conserver toutes les étapes : la suite monte d'abord de 6 à 10 puis à 16 avant de redescendre vers 1. Une baisse immédiate n'est donc pas nécessaire pour qu'un nombre soit syracusien.

Un nombre syracusien ne désigne pas une valeur obtenue par une seule opération. Il désigne un entier dont toute la suite, construite par itérations, atteint 1. Pour 6, le premier résultat est 3, mais c'est l'ensemble 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 qui permet de conclure.

La suite de Collatz et la suite de Syracuse désignent ici le même procédé itératif. En revanche, la conjecture de Syracuse est l'énoncé général selon lequel tous les entiers naturels strictement positifs sont syracusiens ; elle ne constitue pas la définition d'un nombre particulier.

Atteindre une valeur élevée ne réfute pas la conjecture. Dans l'exemple de 6, la suite atteint 16 avant de revenir à 1. Il faut suivre les itérations et ne pas remplacer la règle par une intuition de décroissance.

Un calcul qui n'a pas encore atteint 1 ne suffit pas à montrer qu'un entier naturel strictement positif est non-syracusien : la suite peut seulement demander davantage d'étapes. Un nombre non-syracusien serait un entier naturel strictement positif qui n'atteindrait jamais 1, s'il en existe.

Enfin, la terminologie porte sur l'atteinte de 1 puis l'entrée dans le cycle 1 → 4 → 2 → 1, et non sur le fait que le nombre de départ soit pair ou impair. La parité choisit seulement la première opération ; elle ne permet pas, à elle seule, de conclure.

La question est connue sous les noms de conjecture de Syracuse, de conjecture de Collatz et de problème 3n + 1. Ces appellations mettent l'accent sur le même mécanisme : la branche impaire remplace n par 3n + 1, tandis que la branche paire divise par 2.

L'intérêt mathématique vient du contraste entre une règle élémentaire et une question globale difficile. Chaque étape est facile à calculer, mais établir que toute suite issue d'un entier naturel strictement positif finit par atteindre 1 demande davantage qu'une vérification sur un grand nombre d'exemples.