problème de Hasse

Partons de 6. Il est pair, donc on le divise par 2 et l'on obtient 3. Ce nombre est impair : on calcule alors trois fois 3, plus 1, soit 10. En répétant ces deux gestes, la suite monte parfois, redescend parfois, puis atteint 1 dans cet exemple.

La conjecture de Syracuse affirme que toute suite partie d'un entier strictement positif atteint 1, puis entre dans le cycle 1, 4, 2, 1 si l'on continue d'appliquer la règle. Des calculs l'ont confirmé pour une immense quantité de valeurs, mais une vérification, même gigantesque, ne remplace pas une démonstration valable pour tous les entiers.

Dans sa forme usuelle, le problème de Hasse porte sur les entiers strictement positifs. On choisit un entier initial, noté u₀, puis chaque terme u_k+1 est calculé à partir du terme précédent u_k. La règle dépend uniquement de la parité du terme courant :

La conjecture affirme que, pour tout choix strictement positif de u₀, un terme de la suite vaut finalement 1. Une fois 1 atteint, la règle produit le cycle 1, 4, 2, 1. On appelle « suite de Collatz » la suite ainsi définie ; les appellations « conjecture de Syracuse » et « problème des nombres grêlons » désignent le problème portant sur son comportement. L'image du grêlon évoque les hausses et les baisses irrégulières des termes. La propriété a été vérifiée pour tout entier strictement positif inférieur à 2⁶², résultat établi en 2008, mais aucune démonstration générale n'est connue.

Prenons 6 comme entier initial. La trajectoire complète jusqu'à la première apparition de 1 est représentée par le schéma ; chaque flèche correspond à une application de la règle.

Données.
Terme initial : u₀ = 6.
Règle paire : diviser par 2.
Règle impaire : multiplier par 3, puis ajouter 1.
Arrêt du relevé : première valeur égale à 1.

Étapes 1 à 3.
6 est pair : 6 ÷ 2 = 3.
3 est impair : 3 × 3 + 1 = 10.
10 est pair : 10 ÷ 2 = 5.

Étapes 4 à 6.
5 est impair : 3 × 5 + 1 = 16.
16 est pair : 16 ÷ 2 = 8.
8 est pair : 8 ÷ 2 = 4.

Étapes 7 et 8.
4 est pair : 4 ÷ 2 = 2.
2 est pair : 2 ÷ 2 = 1.

Résultat et contrôle. La suite issue de 6 atteint 1 après huit opérations. La liste 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 contient neuf termes, ce qui confirme qu'il y a huit passages d'un terme au suivant.

Pour calculer une trajectoire à la main, on note chaque terme et l'opération utilisée. Si le terme est pair, la division par 2 s'impose ; s'il est impair, on applique 3n + 1. Cette trace écrite permet de repérer immédiatement une erreur de parité ou de calcul.

Pour comparer deux entiers initiaux, on peut relever le nombre d'opérations nécessaires avant d'atteindre 1 et la plus grande valeur rencontrée. Avec 6, ces deux données valent respectivement 8 et 16. Elles décrivent cette trajectoire particulière, pas une preuve de la conjecture.

Pour tester beaucoup de départs, un programme remplace avantageusement le calcul manuel. Il faut néanmoins distinguer le constat informatique de la démonstration : la vérification annoncée sous 2⁶² laisse encore une infinité d'entiers hors du calcul.

Conjecture et théorème. Un théorème possède une démonstration ; la conjecture de Syracuse reste une affirmation non démontrée. Le fait que la trajectoire de 6 atteigne 1, ou que tous les départs testés le fassent, ne transforme donc pas la conjecture en théorème.

Suite de Collatz et suite arithmétique. Dans une suite arithmétique, on ajoute toujours la même quantité. Ici, l'opération change selon la parité : de 6 à 3 on divise par 2, tandis que de 3 à 10 on multiplie par 3 puis on ajoute 1.

Problème de Hasse et généralisations. Le résultat d'indécidabilité algorithmique cité pour 1972 concerne une famille de problèmes qui généralise la conjecture. Il ne constitue ni une preuve ni une réfutation de la conjecture de Syracuse elle-même.

Le domaine doit être précisé. La conjecture usuelle prend un entier initial strictement positif. Si l'on autorise 0, la règle donne immédiatement 0 et la suite n'atteint pas 1. Il ne faut donc pas étendre sans précaution l'énoncé à tous les entiers.

Atteindre 1 ne signifie pas s'y arrêter. La règle appliquée indéfiniment enchaîne 1, 4, 2, puis revient à 1. Pour mesurer la durée d'une trajectoire, il faut annoncer que l'on s'arrête à la première apparition de 1.

Une vérification bornée n'est pas une preuve universelle. Le seuil 2⁶² signifie que les départs plus petits ont été contrôlés dans le résultat de 2008 cité par la source. Il reste toujours une infinité d'entiers supérieurs ou égaux à ce seuil.

La trajectoire n'est pas monotone. Celle de 6 descend d'abord à 3, grimpe ensuite jusqu'à 16, puis redescend. Une hausse locale ne réfute donc pas la conjecture, et une baisse locale ne prouve pas que 1 sera atteint.

L'article Des nouvelles de la conjecture de Syracuse prolonge la fiche en examinant l'état de cette question ouverte au-delà de son énoncé élémentaire.

Une autre piste consiste à étudier les généralisations de la règle 3n + 1. La source signale qu'une famille plus large a fait l'objet, en 1972, d'un résultat d'indécidabilité algorithmique ; cette propriété ne se transfère pas automatiquement au problème initial.