nombre heureux

Prenons 19. On met chaque chiffre au carré, puis on additionne : 1² + 9² donne 82. En recommençant avec chaque résultat, on obtient 68, puis 100 et enfin 1. Comme le procédé reste ensuite sur 1, le nombre 19 est heureux.

D’autres nombres ne rejoignent jamais 1. Leurs résultats finissent par tourner dans une boucle fixe ; ces nombres sont dits malheureux.

Soit un entier naturel positif N écrit en base dix. Pour tout entier naturel n, notons s(n) la somme des carrés des chiffres décimaux de n. La suite de départ N est obtenue en appliquant s à chaque terme :

Dans cette écriture, u_k est le terme de rang k et les nombres d_i sont ses chiffres. Le nombre N est heureux si un terme vaut 1 ; tous les suivants valent alors 1. Sinon, en base dix, la suite finit dans le cycle 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 et N est malheureux. Les appellations « nombre joyeux » et « nombre triste » sont aussi employées ; on parle alors de suite joyeuse. L’écriture décimale est une condition essentielle, car le statut peut changer dans une autre base. Il existe une infinité de nombres heureux.

Déterminons le statut de 19. Les données sont ses deux chiffres, 1 et 9, l’écriture en base dix et la règle qui consiste à additionner les carrés des chiffres. La trajectoire représentée dans la figure permet de contrôler chaque résultat sans supposer d’avance que 19 est heureux.

1. 1² + 9² = 1 + 81 = 82.
2. 8² + 2² = 64 + 4 = 68.
3. 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
4. 1² + 0² + 0² = 1.

Le résultat est 1 : 19 est donc un nombre heureux. Pour refaire le contrôle, il suffit de reprendre chaque résultat comme nouvelle donnée et de vérifier les quatre sommes. Une application supplémentaire laisse 1 inchangé, puisque 1² = 1.

Pour tester un petit entier à la main, on écrit les carrés de ses chiffres, on les additionne et on recommence. Le calcul s’arrête dès que 1 apparaît : le nombre est heureux.

Si un résultat déjà rencontré réapparaît, la suite va désormais répéter la même boucle. En base dix, rencontrer 4 suffit donc à conclure que le nombre est malheureux, car 4 appartient au cycle non heureux.

Pour tester beaucoup de nombres, un programme mémorise les valeurs déjà vues. Cette méthode est préférable à un nombre arbitraire d’itérations : l’arrêt repose sur un critère observable, 1 ou une répétition.

Un carré parfait est le carré d’un entier, tandis qu’un nombre heureux est classé par une itération sur ses chiffres. Ainsi, 19 est heureux sans être un carré parfait ; le mot « carrés » décrit seulement l’opération effectuée sur ses chiffres.

Une suite périodique dès son départ répète immédiatement ses termes. La suite associée à un nombre malheureux peut d’abord avoir une partie non répétée : elle devient cyclique seulement lorsqu’elle atteint l’un des huit termes du cycle.

La définition s’applique ici aux entiers naturels positifs. Si une convention inclut 0 parmi les naturels, il faut l’exclure : la suite issue de 0 reste sur 0 et ne rejoint ni 1 ni le cycle non heureux indiqué.

Le statut annoncé vaut en base dix. Changer de base change les chiffres, donc les sommes calculées ; il faut annoncer la base avant de réutiliser le critère.

Une longue trajectoire ne prouve pas qu’un nombre est malheureux. Le symptôme décisif est la répétition d’une valeur, ou l’apparition de 4 en base dix ; interrompre après un nombre choisi d’étapes peut donner un verdict sans preuve.

L’ordre des chiffres n’influe pas sur la première somme : 19 et 91 donnent tous deux 82. Cela ne signifie pas que leurs écritures sont égales, mais seulement qu’elles rejoignent la même trajectoire après une étape.

L’étude des nombres heureux appartient à l’arithmétique. Cette entrée replace les itérations sur les chiffres parmi les propriétés et méthodes consacrées aux entiers.