Y a de la joie ! ----------------
Choisissez un nombre entier, par exemple 19. Calculez la somme des carrés de ses chiffres, ici 12 + 92 = 82, et recommencez ! Dans notre exemple, on trouve ensuite 82 + 22 = 68, puis 62 + 82 = 100 et enfin 12 + 02 + 02 = 1. Termine-t-on toujours par le nombre 1 ? La réponse est non ! Vous pouvez vous assurer qu’en commençant par 4, on trouve successivement 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 puis… de nouveau 4 ! Impossible de sortir de ce cycle une fois qu’on y est tombé. Ce sont en fait les deux seules issues possibles : soit la suite se termine par 1, soit on tombe dans le cycle infernal 4, 16, 37… Les nombres pour lesquels le processus se termine par 1 sont dit heureux.
Il se pose immédiatement beaucoup de questions. On sait par exemple qu’il existe une infinité de nombres heureux, mais on ne connaît pas leur densité. Certains mathématiciens pensent qu’elle est de 1/7 mais la question reste ouverte et, pour l’instant, on sait seulement qu’elle n’en est « pas très éloignée ». On peut aussi s’interroger sur le nombre d’étapes nécessaires pour qu’un nombre heureux aboutisse à 1. Par exemple, quel est le plus petit entier heureux qui atteint 1 en n étapes ? Les réponses ne sont connues que pour de petites valeurs de n.
En 2006, Hao Pan a démontré qu’il existe des suites arbitrairement longues de nombres heureux. Le premier couple est formé des entiers 31 et 32. Le premier triplet commence à 1 880, le premier quadruplet à 7 839, le premier quintuplet à 44 488 et le premier sextuplet à… 7 899 999 999 999 959 999 999 996. Qu’en est-il pour les nombres malheureux ? Les questions ne manquent pas mais on cherche encore bien des réponses !
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