théorème 290

Imaginez une machine qui reçoit des nombres entiers et renvoie, par exemple, une somme de carrés. On voudrait savoir si elle peut produire tous les entiers naturels. Essayer une infinité de résultats serait impossible. Le théorème 290 remplace ce contrôle sans fin par 29 tests précis, du nombre 1 au nombre 290. Si une forme quadratique du type requis réussit chacun de ces tests, elle réussit tous les autres. Si elle en manque un seul, elle n'est pas universelle.

Une forme quadratique est une expression homogène de degré 2 en plusieurs variables. Ici, on considère une forme Q qui prend des valeurs entières lorsqu'elle est évaluée sur des variables entières. Dire que Q représente un entier naturel n signifie qu'il existe un choix entier des variables pour lequel la valeur de Q est n. Dire que Q est universelle signifie qu'elle représente tout entier naturel.

La forme doit être définie positive : sa valeur est strictement positive dès que les variables ne sont pas toutes nulles. Pour cette classe de formes à valeurs entières, le théorème transforme alors une propriété portant sur une infinité d'entiers en un certificat fini. Il suffit, et il est nécessaire, de représenter les 29 entiers tests énumérés dans l'énoncé. Pour chaque entier, le choix des variables peut être différent.

Le plus grand test est 290, d'où le nom du théorème. La liste entière, et non le seul nombre 290, constitue le critère. Pour la classe générale des formes quadratiques définies positives à valeurs entières, son optimalité signifie qu'aucun de ses 29 éléments ne peut être supprimé tout en conservant un test valable pour toutes les formes concernées.

Soit Q une forme quadratique définie positive à valeurs entières sur les tuples d'entiers. Alors Q est universelle si et seulement si elle représente chacun des 29 entiers suivants : 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 37, 42, 58, 93, 110, 145, 203 et 290.

Le critère porte sur une forme quadratique qui prend des valeurs entières sur tous les tuples d'entiers. Il faut aussi vérifier qu'elle est définie positive. Enfin, « représenter n » exige au moins un tuple entier donnant exactement n ; les 29 tests peuvent utiliser des tuples différents.

La forme x² + y² fournit un contre-cas concret. Elle est définie positive et représente 1 et 2, mais pas 3 : un carré entier vaut 0 ou 1 modulo 4, donc deux carrés ne peuvent pas avoir pour somme 3 modulo 4. Le test s'arrête dès cet échec et la forme n'est pas universelle. Pour représenter tous les entiers naturels, la forme à quatre carrés offre le cas particulier donné par Lagrange.

Prenons la forme Q qui additionne les carrés de quatre variables entières nommées x, y, z et t. Pour appliquer le critère, il faut trouver un quadruplet entier pour chacun des 29 nombres tests. La figure rassemble ces points de contrôle ; voici trois vérifications, choisies au début, au milieu et à la fin de la liste.

1. Avec (x, y, z, t) = (1, 1, 1, 0), on obtient Q = 1² + 1² + 1² + 0² = 3.
2. Avec (x, y, z, t) = (5, 2, 0, 0), on obtient Q = 5² + 2² + 0² + 0² = 29.
3. Avec (x, y, z, t) = (17, 1, 0, 0), on obtient Q = 17² + 1² + 0² + 0² = 290.

Chaque égalité se contrôle en recalculant les quatre carrés. Ces trois calculs illustrent la procédure, mais ne remplacent pas les 26 autres vérifications. Une fois les 29 représentations établies, le théorème 290 conclut que Q est universelle. Pour cette forme précise, cette conclusion est aussi celle du théorème des quatre carrés de Lagrange.

Pour établir qu'une forme admissible est universelle, on cherche une représentation entière de chacun des 29 nombres tests. Ce certificat fini remplace l'examen impossible de tous les entiers naturels.

Pour réfuter l'universalité, un seul échec suffit. Si un entier de la liste n'est pas représenté, il est inutile de poursuivre les autres tests : la forme ne représente déjà pas tous les entiers naturels.

Pour la forme particulière x² + y² + z² + t², le théorème des quatre carrés donne directement l'universalité. Le théorème 290 devient préférable lorsque l'on veut appliquer un même critère à l'ensemble des formes quadratiques définies positives visées par l'énoncé.

Représenter un entier et être universelle. Une forme représente 29 dès qu'un tuple entier produit 29. Elle est universelle seulement si elle représente tout entier naturel ; réussir un test isolé ne suffit donc pas.

Théorème 290 et théorème des quatre carrés. Le second affirme l'universalité de la forme particulière x² + y² + z² + t². Le premier caractérise toutes les formes quadratiques définies positives à valeurs entières sur les tuples d'entiers au moyen de 29 valeurs tests.

Tester seulement 290. Représenter le plus grand nombre de la liste ne garantit rien pour les 28 autres. Il faut contrôler les 29 valeurs, sans en omettre une.

Retirer un test jugé redondant. Dans la classe des formes quadratiques définies positives à valeurs entières, la liste est optimale : pour chaque valeur qu'elle contient, il existe une forme qui représente tous les entiers naturels sauf cette valeur. Une liste privée de ce test accepterait donc à tort cette forme.

Oublier les hypothèses. Le critère annoncé concerne les formes quadratiques définies positives à valeurs entières sur les tuples d'entiers. Si l'un de ces points manque, on ne peut pas invoquer cet énoncé tel quel.

Exiger un tuple unique. Les 29 nombres n'ont pas à provenir du même choix de variables. Pour chaque nombre test, on cherche au contraire au moins un tuple entier adapté.

Le théorème des quatre carrés de Lagrange étudie le cas emblématique x² + y² + z² + t². Il montre directement pourquoi cette forme particulière représente tout entier naturel.