ArithmétiqueThéorème · Glossaire
Trois carrés (théorème des)
Le théorème des trois carrés de Legendre affirme qu'un entier naturel n peut être représenté comme somme de trois carrés entiers si et seulement si n n'est pas de la forme 4^a(8b + 7). Toute somme de quatre carrés représente tous les entiers positifs (théorème de Lagrange), mais ce n'est pas le cas pour trois carrés. Ce théorème est un résultat fondamental de la théorie des formes quadratiques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Appliquer le critère 4^a(8b + 7) à un entier naturel.
- Vérifier pas à pas que 21 est une somme de trois carrés.
- Expliquer pourquoi 28 ne peut pas être une somme de trois carrés.
- Distinguer le résultat du théorème des quatre carrés de Lagrange.
- Éviter l'erreur qui consiste à tester le nombre initial modulo 8 sans retirer tous les facteurs 4.
En clair
Prenons 21 jetons. On peut les répartir en trois carrés comptant 16, 4 et 1 jeton : 21 est donc une somme de trois carrés. En revanche, aucune combinaison de trois carrés entiers ne donne 28.
Le théorème de Legendre permet de prévoir cette différence sans essayer toutes les combinaisons. On retire autant de facteurs 4 que possible, puis on regarde le reste dans la division par 8. Un reste égal à 7 signale exactement les nombres impossibles à obtenir avec trois carrés.
Définition
Le théorème des trois carrés caractérise les entiers naturels qui peuvent s'écrire comme la somme des carrés de trois entiers. Les trois entiers peuvent être nuls ou négatifs, puisque leur signe ne change pas leur carré.
On note n l'entier étudié. On note a et b deux entiers naturels. La caractérisation exacte est : , où x, y et z sont des entiers. Autrement dit, une représentation existe si et seulement si aucune écriture de n sous la forme interdite n'est possible.
Le critère porte sur l'existence d'une représentation, pas sur une manière unique de la construire. Il marque aussi la différence avec le théorème des quatre carrés de Lagrange : tout entier positif est une somme de quatre carrés, tandis que certaines valeurs résistent à trois carrés. Ce résultat appartient à la théorie des formes quadratiques.
Le principe
Soit n un entier naturel. Le cas n = 0 est représentable par 0² + 0² + 0². Pour n strictement positif, si, après avoir divisé n par 4 autant de fois que possible, le quotient n'a pas pour reste 7 dans la division par 8, alors n est une somme de trois carrés entiers. Réciproquement, si ce reste vaut 7, une telle représentation est impossible.
Quand l'utiliser
Le nombre étudié doit être un entier naturel, et les trois termes cherchés sont les carrés d'entiers. Le cas n = 0 est directement représentable par 0² + 0² + 0². Pour appliquer le test à un entier strictement positif, il suffit de connaître sa divisibilité par 4, puis le reste du quotient final modulo 8. Les exposants et paramètres de la forme interdite sont des entiers naturels, zéro compris.
Ainsi, 28 se divise une fois par 4 et donne 7. Comme 7 a pour reste 7 modulo 8, on obtient 28 = 41 × (8 × 0 + 7) : trois carrés ne suffisent pas. Pour représenter malgré tout 28 par des carrés, le théorème de Lagrange autorise le recours à quatre carrés.
Un exemple, pas à pas
Cherchons si l'entier naturel 21 peut être représenté par trois carrés. La seule donnée de départ est n = 21 ; les diviseurs 4 et 8 viennent du critère du théorème.
1. Le nombre 21 n'est pas divisible par 4. Aucun facteur 4 n'est donc retiré.
2. La division de 21 par 8 donne un quotient égal à 2 et un reste égal à 5. Le reste n'est pas 7 : le théorème garantit qu'une représentation existe.
3. On cherche alors trois carrés dont la somme vaut 21. Les carrés de 4, de 2 et de 1 conviennent : .
4. Le contrôle est direct : 16 + 4 + 1 = 21. La représentation annoncée est exacte. Les trois carrés dessinés matérialisent leurs aires respectives et permettent de refaire cette addition visuellement.
En pratique
Pour écarter rapidement une possibilité, on enlève les facteurs 4 et on calcule le reste modulo 8. Si ce reste vaut 7, poursuivre la recherche de trois carrés serait inutile ; quatre carrés constituent alors l'alternative garantie par le théorème de Lagrange.
Si le reste n'est pas 7, le test assure seulement qu'une décomposition existe. Il faut ensuite chercher les trois carrés, en essayant des carrés inférieurs ou égaux au nombre et en contrôlant leur somme.
Le critère sert enfin à vérifier un programme de recherche. Une sortie « impossible » pour 21 serait erronée, tandis que la même sortie pour 28 serait cohérente avec la forme interdite.
À ne pas confondre
Le théorème des trois carrés ne doit pas être confondu avec le théorème des quatre carrés de Lagrange. Le critère testable est l'existence d'exceptions : 28 n'est pas une somme de trois carrés entiers, mais tout entier positif, donc 28 aussi, admet une représentation par quatre carrés.
Limites et pièges
Le critère ne construit pas la décomposition. Un reste différent de 7 garantit l'existence de trois carrés, mais ne donne pas directement leurs bases. Il faut encore les chercher et vérifier leur somme.
Le facteur 4 doit être retiré jusqu'au bout. Tester seulement le nombre initial modulo 8 peut tromper. Pour 28, le reste initial est 4 ; après division par 4, le quotient 7 révèle pourtant la forme interdite.
Les carrés viennent d'entiers, zéro compris. Changer le signe ou l'ordre des trois entiers ne produit pas une nouvelle possibilité d'existence. Le cas n = 0 est admis et s'écrit 02 + 02 + 02.
Le seuil 7 est un reste, pas une borne. Des nombres supérieurs à 7 sont représentables, comme 21, tandis que 7, 15 ou 28 appartiennent à la famille interdite. Il faut appliquer le critère complet plutôt que comparer la taille des nombres.
Pour aller plus loin
L'article Les triplets pythagoriciens étudie une autre relation entre carrés : deux carrés y ont pour somme un troisième carré. Cette comparaison aide à distinguer une équation particulière de la représentation générale d'un entier par trois carrés.
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