Nombres carrés

Disposez 36 jetons en autant de rangées que de colonnes : six rangées de six jetons forment un carré plein. Le nombre 36 est donc un nombre carré, car il s'obtient en multipliant 6 par lui-même.

En agrandissant ce carré une couche après l'autre, on ajoute 1, puis 3, 5, 7, 9 et 11 jetons. Ces nombres impairs consécutifs totalisent encore 36.

Un nombre carré, aussi appelé carré parfait, est un entier naturel obtenu en multipliant un entier naturel par lui-même. Si la lettre n désigne cet entier, le nombre carré s'écrit n². Les premiers sont 0, 1, 4, 9, 16, 25 et 36. Cette définition inclut 0, puisque 0² = 0.

La construction par couches donne une seconde lecture. Pour tout entier naturel n positif, son carré est la somme des n premiers nombres impairs : $n^2={\sum }_{k=1}^n(2k-1)n^2=\backslash sum\_\{k=1\}^\{n\}(2k-1)$, où la lettre k numérote les termes. Ainsi, 6² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11. Pour n = 0, la même identité demande de convenir qu'une somme sans terme vaut 0.

Le théorème de Legendre-Gauss porte sur une autre question : écrire un entier positif comme somme de trois carrés d'entiers. En désignant par a et b deux entiers naturels, cette écriture est possible exactement lorsque le nombre n'est pas de la forme $4^a(8b+7)4^a(8b+7)$.

Construisons un carré de 36 jetons. Les données sont 6 rangées, 6 jetons par rangée et les six nombres impairs consécutifs 1, 3, 5, 7, 9 et 11.

1. Multiplions le nombre de rangées par le nombre de jetons de chaque rangée : 6 × 6 = 36.

2. Le même facteur apparaît deux fois, donc 36 = 6². Le nombre 36 est bien un carré parfait.

3. Construisons le carré par couches : $1+3+5+7+9+11=361+3+5+7+9+11=36$. Chaque couche impaire complète le carré précédent. La figure montre ces six couches emboîtées dans la grille de 36 cases.

4. Contrôlons par l'opération inverse : la racine carrée de 36 vaut 6, qui est un entier naturel. Le produit 6 × 6 redonne exactement les 36 jetons annoncés.

Pour savoir si 36 jetons peuvent remplir une grille carrée sans reste, on cherche un entier dont le carré vaut 36. La racine carrée donne 6 ; une grille de 6 rangées sur 6 colonnes convient. Si la racine carrée n'est pas entière, il faut choisir une grille rectangulaire ou accepter des places vides.

Pour calculer rapidement la somme 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11, on compte six termes impairs à partir de 1. L'identité des sommes impaires donne alors 6², soit 36, au lieu de six additions successives.

Dans une recherche de sommes de trois carrés, le critère de Legendre-Gauss évite des essais inutiles. Si les lettres a et b désignent des entiers naturels, un entier positif de la forme $4^a(8b+7)4^a(8b+7)$ doit être écarté ; pour les autres, une décomposition en trois carrés existe.

Élever au carré et doubler. Élever 6 au carré signifie multiplier 6 par lui-même : 6² = 36. Doubler 6 signifie le multiplier par 2 : 2 × 6 = 12. Le facteur répété permet de trancher.

Être un carré et être une somme de trois carrés. Un carré parfait est le carré d'un seul entier naturel. Si les lettres x, y et z désignent trois entiers, une somme de trois carrés s'écrit x² + y² + z². Elle n'est pas nécessairement elle-même un carré : 6 = 1² + 1² + 2², mais aucun entier naturel élevé au carré ne vaut 6.

Le cas de zéro. La liste commence à 0 si les entiers naturels incluent zéro, comme dans la définition retenue ici. L'écriture 0² = 0 règle le cas ; dans la lecture par nombres impairs, elle correspond à une somme sans terme.

Une terminaison compatible ne suffit pas. Finir par 6 est compatible avec certains carrés, mais ne prouve pas qu'un entier en est un : 6 lui-même n'est pas un carré, tandis que 36 = 6². Il faut retrouver un entier naturel dont le carré donne exactement le nombre testé.

Le critère des trois carrés ne concerne que les entiers positifs. Il ne faut pas le confondre avec la définition d'un carré parfait. Par exemple, 7 est de la forme 4⁰(8 × 0 + 7) : le théorème exclut donc une écriture de 7 comme somme de trois carrés d'entiers.

Les triplets pythagoriciens montrent comment trois entiers peuvent relier leurs carrés par une même égalité. Ils prolongent naturellement l'étude des sommes de carrés.