Nombres triangulaires

Disposez un point, puis deux points sur une nouvelle rangée, puis trois sur la suivante. Le total passe de 1 à 3, puis à 6 : les points dessinent un triangle et chaque nouvelle rangée ajoute un entier de plus.

Ces totaux sont les nombres triangulaires. Ainsi, six rangées contiennent 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6, soit 21 points. L’image proposée matérialise cette accumulation rangée après rangée.

Un nombre triangulaire compte les points d’un arrangement triangulaire dont les rangées successives contiennent 1, 2, 3, jusqu’à un entier naturel donné. Si la lettre n désigne le nombre de rangées, le nombre triangulaire de rang n, noté T_n, est la somme des n premiers entiers naturels positifs.

Cette somme possède la forme fermée suivante : $T_n=1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}T\_n=1+2+\backslash cdots+n=\backslash frac\{n(n+1)\}\{2\}$. Elle donne la suite 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, … lorsque le rang commence à 0. Le cas n = 0 correspond à une somme vide et donne T₀ = 0.

La même quantité intervient en combinatoire : choisir deux éléments parmi n + 1 revient à compter T_n paires. Cette écriture relie les nombres triangulaires aux identités de Pascal. Ils apparaissent aussi dans les sommes de séries. Enfin, le théorème attribué à Gauss affirme que tout entier positif est la somme d’au plus trois nombres triangulaires.

On veut déterminer le nombre de points d’un triangle comportant six rangées. Les données sont le rang n = 6 et les effectifs successifs 1, 2, 3, 4, 5 et 6.

1. Additionner les rangées : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.
2. Appliquer la formule avec n = 6 : $T_6=\frac{6\times (6+1)}{2}T\_6=\backslash frac\{6\backslash times(6+1)\}\{2\}$.
3. Calculer le produit 6 × 7 = 42, puis sa moitié : 42 ÷ 2 = 21.

Le sixième nombre triangulaire est donc T₆ = 21 points. Pour contrôler le résultat sans reprendre toute l’addition, on associe deux copies de l’escalier : elles forment six rangées de sept points, soit 42 points ; une seule copie en contient la moitié, donc 21.

Pour compter un empilement en rangées de 1 à n objets, la formule de T_n remplace une longue addition. Avec six rangées, elle donne directement 21 objets.

Dans un problème combinatoire où chaque paire d’un ensemble de n + 1 éléments doit être comptée une fois, T_n fournit le total. Une addition directe reste préférable si les groupes ne croissent pas exactement de 1 à chaque étape.

Pour reconnaître un nombre triangulaire candidat, on cherche un rang naturel n qui vérifie la formule. Si aucun rang entier naturel ne convient, le nombre n’est pas triangulaire.

Un nombre carré compte un arrangement en carré avec autant de lignes que de colonnes ; un nombre triangulaire additionne des rangées de longueurs successives. Ainsi, 9 est carré car 3 × 3 = 9, mais il n’apparaît pas dans la suite triangulaire 0, 1, 3, 6, 10, …

Un triangle géométrique est une figure, tandis qu’un nombre triangulaire est un entier. Le dessin de 21 points rend T₆ visible, mais déplacer ces 21 points ne change pas la valeur de l’entier.

Le rang 0 est un cas charnière : avec la convention où les entiers naturels commencent à 0, la somme vide donne T₀ = 0. Une liste qui commence à 1 omet simplement ce premier cas ; il faut donc vérifier la convention d’indexation.

La formule exige un rang entier naturel. Lui substituer un nombre négatif ou non entier peut produire une valeur algébrique, mais ne décrit plus un nombre de rangées dans la suite définie ici.

Dans le théorème de Gauss, « au plus trois » signifie qu’un entier positif peut nécessiter un, deux ou trois termes. Cela ne signifie ni exactement trois termes, ni trois termes nécessairement distincts.

L’écriture combinatoire approfondit la notion : $T_n=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+1}{2}\right)T\_n=\backslash binom\{n+1\}\{2\}$. Elle interprète T_n comme un nombre de paires et explique sa présence dans les identités de Pascal.

Le résultat de Gauss ouvre une autre direction : au lieu de demander si un entier est triangulaire, on étudie comment tout entier positif peut se décomposer en somme d’au plus trois nombres triangulaires.