Nombres figurés

Imaginez des points que l'on aligne en rangées : une rangée, puis deux, puis trois. Avec quatre rangées de longueurs 1, 2, 3 et 4, on obtient un triangle de 10 points. Le nombre 10 est donc un nombre triangulaire. Plus généralement, un nombre figuré associe un entier à une disposition régulière de points, comme un triangle, un carré ou un pentagone. La forme permet de voir le nombre et de repérer une famille de nombres construite selon une règle.

Un nombre figuré est un entier que l'on peut représenter par des points disposés selon une forme géométrique régulière. La famille dépend de la forme choisie et de la manière dont elle grandit. Pour les nombres triangulaires, T_n désigne le nombre de points d'un triangle équilatéral dont le côté contient n points : $T_n=\frac{n(n+1)}{2}T\_n=\backslash frac\{n(n+1)\}\{2\}$. Ici, n est un entier positif qui repère la taille du triangle.

D'autres familles utilisent une règle analogue. Le nombre carré de rang n vaut n². Le nombre pentagonal de rang n vaut $\frac{n(3n-1)}{2}\backslash frac\{n(3n-1)\}\{2\}$, et le nombre hexagonal de rang n vaut $n(2n-1)n(2n-1)$. Ces formules décrivent des entiers associés à des formes, sans faire de la figure un objet nécessairement mesuré à l'échelle.

On construit un triangle de côté 4 points. Les données sont les longueurs des quatre rangées : 1, 2, 3 et 4 points.

La première rangée contient 1 point.
La deuxième contient 2 points, donc le total atteint 3.
La troisième contient 3 points, donc le total atteint 6.
La quatrième contient 4 points, donc le total atteint 10.
La formule donne aussi $T_4=\frac{4(4+1)}{2}=10T\_4=\backslash frac\{4(4+1)\}\{2\}=10$. La disposition des points rend visible pourquoi les quatre rangées forment un triangle.

Le résultat est donc T₄ = 10 points. Le contrôle consiste à comparer les deux calculs : 1 + 2 + 3 + 4 = 10 et la formule donnent le même entier.

Pour reconnaître une disposition triangulaire, comptez les points de chaque rangée en partant du sommet. Si les longueurs sont 1, 2, 3, puis 4, leur total est 10 ; il s'agit du quatrième nombre triangulaire.

Pour une disposition carrée, vérifiez que chaque rangée et chaque colonne ont la même longueur. Avec n points sur chaque côté, le total se calcule par n². Cette règle distingue le carré d'un triangle de même nombre de rangées.

Pour calculer plutôt que dessiner, choisissez la famille correspondant à la forme, introduisez son rang n, puis appliquez la formule de cette famille. Le dessin sert alors à contrôler le résultat, pas à remplacer le calcul.

Un nombre figuré n'est pas une forme géométrique : c'est l'entier associé à une disposition de points. Par exemple, dans le triangle de côté 4, la figure est le support visuel et 10 est le nombre figuré. Il ne faut pas non plus confondre la famille et un rang particulier : les nombres triangulaires forment une famille, tandis que T₄ = 10 en est un membre. Le critère testable est la règle de construction annoncée pour la forme et le rang.

Le rang n'est pas une longueur mesurée en unité physique. Dans l'exemple, « côté 4 » signifie que chaque côté contient 4 points, et non que le triangle mesure 4 cm.

Le cas n = 1 donne un seul point pour la famille triangulaire. Il ne faut pas le traiter comme un triangle de côté nul : la définition donnée utilise un entier positif. Pour n = 4, le comptage par rangées vaut 10 et le calcul par la formule vaut également 10 ; un autre résultat signale une erreur de rang ou d'addition.

La propriété attribuée au théorème de Fermat-Cauchy porte sur les entiers positifs et sur une somme d'au plus trois nombres triangulaires, ou d'au plus quatre carrés. Elle ne dit pas qu'un entier est lui-même triangulaire ou carré.

La famille des nombres polygonaux généralise les constructions triangulaires, carrées et pentagonales. La fiche consacrée aux nombres polygonaux permet de comparer les règles associées à plusieurs nombres de côtés et d'élargir le vocabulaire de la notion.