Nombres polygonaux

Disposez un point, puis ajoutez des rangées de points de façon régulière. Selon que le contour obtenu a trois, quatre ou cinq côtés, les totaux forment les suites triangulaires, carrées ou pentagonales. Chaque étape agrandit la figure sans changer sa famille.

Ainsi, les cinq premières étapes pentagonales comptent 1, 5, 12, 22 puis 35 points. Le dessin transforme une suite d'entiers en construction visible : le rang indique l'étape, et le nombre polygonal indique combien de points elle contient.

Un nombre polygonal est le nombre de points d'un arrangement régulier construit par agrandissements successifs d'un polygone. Le nombre de côtés, noté k, fixe la famille ; le rang, noté n, indique l'étape de la construction. Dans la convention usuelle de cette fiche, k est un entier au moins égal à 3 et n un entier positif.

Le nombre polygonal à k côtés de rang n, noté P(k, n), vaut :

Pour k = 3, la formule donne les nombres triangulaires ; pour k = 4, les nombres carrés ; pour k = 5, les nombres pentagonaux ; pour k = 6, les nombres hexagonaux. Dans chaque famille, les deux premiers termes sont 1 et k. Les écarts entre termes consécutifs augmentent toujours de k − 2. Le théorème polygonal de Fermat-Cauchy affirme que tout entier positif s'écrit comme somme d'au plus k nombres polygonaux à k côtés. Cette écriture n'est pas nécessairement unique.

Cherchons le nombre pentagonal de rang 5. Les données sont : cinq côtés, donc k = 5, et le rang n = 5. La figure associée doit contenir autant de points que le résultat du calcul.

1. Remplaçons k et n dans la formule :
$P(5,5)=\frac{5((5-2)\times 5-(5-4))}{2}P(5,5)=\backslash frac\{5((5-2)\backslash times5-(5-4))\}\{2\}$

2. Calculons l'expression entre parenthèses : (5 − 2) × 5 − (5 − 4) = 3 × 5 − 1 = 14.

3. Multiplions puis divisons par 2 : 5 × 14 ÷ 2 = 35. Le cinquième nombre pentagonal est donc 35.

Un contrôle indépendant consiste à additionner les apports successifs visibles dans la construction : 1 + 4 + 7 + 10 + 13 = 35 points. D'un rang au suivant, ces apports augmentent de 3, c'est-à-dire de k − 2 pour k = 5.

Pour reconnaître une suite polygonale, on calcule ses écarts successifs. Si les écarts augmentent d'une constante égale à k − 2, la suite correspond aux nombres polygonaux à k côtés, à condition que son départ suive la même convention.

Pour obtenir directement un terme éloigné, la formule évite de dessiner ou d'additionner tous les rangs précédents. Pour le rang 5 de la famille pentagonale, elle donne 35 ; la somme 1 + 4 + 7 + 10 + 13 sert alors de contrôle.

Pour étudier une décomposition additive, on fixe d'abord la famille. Le théorème de Fermat-Cauchy garantit une somme d'au plus k termes, mais une recherche séparée reste nécessaire pour trouver une décomposition particulière ou la plus courte.

Nombre polygonal et nombre polygonal centré. Dans une suite centrée, la construction part d'un point central entouré de couches complètes. Le deuxième nombre hexagonal ordinaire vaut 6, tandis que le deuxième nombre hexagonal centré vaut 7 : la présence du centre tranche.

Nombre polygonal et polygone. Un polygone est une figure géométrique faite de côtés ; un nombre polygonal est un entier comptant des points dans une construction. Ainsi, 35 est un nombre pentagonal, mais ce n'est pas lui-même une figure à cinq côtés.

Le domaine des paramètres compte. La formule décrit ici des polygones ordinaires pour des entiers k ≥ 3 et des rangs n ≥ 1. Introduire k = 2 ou un rang négatif peut produire un entier algébrique, mais pas un nombre polygonal au sens retenu.

Le rang zéro dépend de la convention. Certaines présentations ajoutent P(k, 0) = 0 pour faciliter les formules et les sommes. La définition source porte sur les entiers positifs : il faut donc annoncer cette extension avant de l'utiliser.

Les familles peuvent se croiser. Le nombre 1 appartient à toutes les familles, et 36 est à la fois carré et triangulaire. La valeur seule ne détermine donc pas toujours le nombre de côtés ; il faut préciser la famille ou le rang.

« Au plus » ne signifie ni exactement ni uniquement. Le théorème de Fermat-Cauchy donne une borne de k termes pour chaque entier positif. Certains entiers en demandent moins, et plusieurs décompositions peuvent convenir.

Les Nombres triangulaires détaillent le cas k = 3 et sa construction par rangées successives.

Les Nombres carrés approfondissent le cas k = 4 et le lien entre arrangement de points et carré d'un entier.