GéométrieNotion · Glossaire
nombre pentagonal
Un nombre pentagonal est un nombre figuré plan qui compte les points disposés en pentagones emboîtés. Au rang n, pour n entier positif, il vaut n(3n−1)/2 : on l’obtient aussi en additionnant n termes à partir de 1, chaque nouvel apport augmentant de 3. Il ne faut pas le confondre avec un nombre pentagonal centré, construit en couches autour d’un point central.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier les totaux 1, 5, 12 et 22 aux apports successifs 1, 4, 7 et 10.
- Calculer le nombre pentagonal de rang 4 par la formule puis contrôler le résultat par une somme.
- Distinguer la famille ordinaire de la famille pentagonale centrée.
- Éviter l’ambiguïté du nom nombres d’Euler et celle de l’indice des couches centrées.
En clair
Imaginez des points rangés pour agrandir une figure pentagonale. Au premier rang, il y en a 1. Les trois agrandissements suivants ajoutent 4, puis 7, puis 10 points. Les totaux deviennent donc 1, 5, 12 et 22.
Ces totaux sont les nombres pentagonaux. Le nombre de points ajoutés augmente chaque fois de 3 : cette régularité permet de calculer directement le total de n’importe quel rang.
Définition
Un nombre pentagonal est un nombre figuré plan : il compte les points d’une représentation formée de pentagones emboîtés. Le rang, noté n, est un entier positif. Le nombre pentagonal de rang n, noté Pn, vaut .
La même quantité s’obtient en additionnant les n premiers termes de la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 3 : . Les premiers rangs donnent P1 = 1, P2 = 5, P3 = 12 et P4 = 22. L’expression « nombres d’Euler » est parfois employée pour cette suite, mais elle peut aussi désigner d’autres objets mathématiques.
Une autre famille porte un nom voisin : les nombres pentagonaux centrés. Ils comptent un point central entouré de couches pentagonales et suivent la formule . Avec l’indice n commençant à 0, cette convention donne C0 = 1, C1 = 6, C2 = 16 et C3 = 31. Cette suite est distincte de celle des nombres pentagonaux ordinaires.
Un exemple, pas à pas
Cherchons le nombre pentagonal de rang 4. Les données sont le rang n = 4, la formule Pn = n(3n − 1)/2 et les quatre accroissements 1, 4, 7 et 10.
1. Remplaçons le rang par 4 : .
2. Calculons la parenthèse : 3 × 4 − 1 = 11. Nous obtenons donc P4 = 4 × 11 / 2.
3. Effectuons le produit puis la division : 4 × 11 = 44, puis 44 / 2 = 22. Le nombre pentagonal de rang 4 contient donc 22 points. La figure rend visibles les quatre apports successifs.
4. Contrôlons avec la suite arithmétique : 1 + 4 + 7 + 10 = 5 + 7 + 10 = 12 + 10 = 22. Les deux calculs donnent exactement le même total.
En pratique
Pour prolonger la suite 1, 5, 12, 22, observez les écarts : 4, 7 et 10. Comme ils augmentent de 3, l’écart suivant vaut 13 et le terme suivant vaut 35. Si les écarts ne suivent pas cette progression, la formule pentagonale n’est pas le bon modèle.
Pour calculer un rang élevé, utilisez Pn = n(3n − 1)/2 plutôt que d’additionner tous les accroissements. Pour un petit rang, la somme 1 + 4 + 7 + … offre un contrôle indépendant et visible.
Devant une figure à point central et couches complètes, choisissez la famille pentagonale centrée. Devant des pentagones emboîtés associés aux totaux 1, 5, 12, 22, choisissez la famille pentagonale ordinaire.
À ne pas confondre
Le nombre pentagonal centré possède un point central entouré de couches pentagonales ; il ne suit pas la formule du nombre pentagonal ordinaire. Au premier agrandissement autour du centre, le total vaut 6, tandis que le nombre pentagonal ordinaire de rang 2 vaut 5.
Un nombre polygonal est la notion générale dont les nombres pentagonaux forment le cas associé au pentagone. La forme géométrique tranche : une représentation triangulaire ou carrée relève d’une autre famille polygonale, même si elle compte aussi des points.
Limites et pièges
La formule Pn = n(3n − 1)/2 emploie ici des rangs entiers positifs. Au rang 1, elle donne 1 ; un rang fractionnaire peut produire un nombre, mais il ne décrit pas un rang de cette construction figurée.
La suite centrée exige d’annoncer son origine d’indice. La formule (5n2 + 5n + 2)/2 donne 1 pour n = 0 et 6 pour n = 1. Si l’on appelle « première couche » l’anneau entourant le centre, il faut donc compter le centre seul comme le cas n = 0.
Le nom « nombre d’Euler » ne suffit pas à identifier la suite. Le symptôme est une formule ou une liste de valeurs différente de 1, 5, 12, 22. Il faut alors employer « nombre pentagonal » et vérifier la formule avant tout calcul.
Pour aller plus loin
Le nombre figuré replace le comptage de points dans son cadre général et aide à lire une suite à travers une disposition géométrique.
Le nombre polygonal situe la famille pentagonale parmi les constructions associées aux autres polygones.
La suite arithmétique explique pourquoi les apports 1, 4, 7, 10 augmentent régulièrement et comment leur somme se calcule.
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