Nombres octogonaux

Imaginez des points que l’on agrandit par couches pour dessiner une forme octogonale. La première figure ne contient qu’un point ; les suivantes en comptent 8, puis 21, puis 40. Chaque nouvelle figure demande davantage de points que la précédente.

Le nombre de points obtenu au rang choisi est un nombre octogonal. Le rang suffit donc à retrouver exactement l’effectif de la figure, sans devoir recompter chaque point.

Un nombre octogonal est un nombre polygonal qui compte les points d’une figure octogonale construite à un certain rang. On note n ce rang, qui est un entier positif, et O_n le nombre octogonal correspondant.

La règle de calcul est $O_n=n(3n-2)=3n^2-2nO\_n=n(3n-2)=3n^2-2n$. Elle produit O₁ = 1, O₂ = 8, O₃ = 21, O₄ = 40, puis 65 et 96. Les écarts successifs valent 7, 13, 19, 25, 31 : ils augmentent chaque fois de 6, ce qui reflète la nature quadratique de la formule.

Cette suite appartient à la famille des nombres polygonaux. La formule s’applique au rang entier de la construction ; elle ne décrit pas la longueur des côtés ni les angles d’un octogone géométrique. Les liens avec les identités combinatoires et les formes quadratiques concernent les propriétés arithmétiques de la suite, au-delà de sa représentation par des points.

On cherche le quatrième nombre octogonal, c’est-à-dire l’effectif de la figure de rang 4. La grille de quatre rangées de dix ne représente pas la construction octogonale : elle rend seulement visible la décomposition numérique 4 × 10 = 40.

Données :
le rang est n = 4 ;
la règle est $O_n=n(3n-2)O\_n=n(3n-2)$ ;
les quatre premiers termes annoncés sont 1, 8, 21 et 40.

Étape 1. On calcule 3 × 4 = 12.
Étape 2. On retranche 2 : 12 − 2 = 10.
Étape 3. On multiplie par le rang : 4 × 10 = 40.

Le quatrième nombre octogonal est donc O₄ = 40 points. Pour contrôler le résultat, les écarts entre 1, 8, 21 et 40 sont 7, 13 et 19 ; leurs écarts valent bien 6 puis 6, comme l’impose une expression quadratique de coefficient principal 3.

Pour produire la suite, on choisit des rangs entiers successifs et on applique la formule à chacun. Cette méthode est préférable au dessin dès que la figure contient trop de points pour être comptée sûrement.

Pour tester un rang précis, on remplace simplement n par ce rang. Au rang 4, le calcul donne 40 ; le résultat peut être contrôlé par les différences successives de la suite.

Pour situer la notion, on observe à la fois la construction par points et la règle quadratique. La construction explique le nom « octogonal » ; la formule est l’outil adapté aux calculs et aux identités arithmétiques.

Un nombre octogonal n’est pas un octogone. Le premier est un entier obtenu à partir d’un rang ; le second est une figure géométrique à huit côtés. Ainsi, 40 est un nombre octogonal, mais ce n’est pas une figure.

Les nombres polygonaux forment la famille générale, tandis que les nombres octogonaux en constituent une suite particulière. Le critère qui tranche est la règle employée : la formule O_n = 3n² − 2n sélectionne précisément la famille octogonale.

Le rang est normalement pris parmi les entiers positifs : le premier terme vaut alors 1. Si une convention étend la formule au rang 0, elle donne 0 ; ce terme ajouté ne change pas les termes de rang positif, mais il faut annoncer la convention.

La formule ne doit pas être appliquée à un rang fractionnaire pour prétendre compter une figure de points : 2,5 n’est pas un rang de la construction. Le symptôme est un nombre de points sans figure discrète correspondante ; il faut revenir à un rang entier.

Il est faux d’affirmer que trois nombres octogonaux usuels suffisent toujours à représenter tout entier positif. Même en autorisant 0, l’entier 4 ne peut pas être une somme d’au plus trois termes pris dans 0, 1, 8, 21, … : sous 8, une telle somme ne dépasse pas 3.

La fiche Nombres polygonaux replace la suite octogonale dans la famille définie par des arrangements de points associés à des polygones.

La fiche Nombres figurés élargit la perspective aux entiers représentés par des configurations géométriques.

La fiche Octogone précise l’objet géométrique dont la construction par points tire son nom, sans le confondre avec la suite d’entiers.