nombre figuré

Posez un point, puis deux points dessous, puis trois : les six points dessinent un triangle. Le nombre 6 est alors représenté par une figure, et pas seulement écrit avec un chiffre. En ajoutant une rangée de quatre points, on obtient 10 ; avec une cinquième rangée, 15. Ces entiers sont des nombres triangulaires, une famille de nombres figurés. La disposition rend visible la manière dont chaque nombre se construit.

Un nombre figuré est un entier naturel représentable par un arrangement régulier de points selon une forme géométrique et une règle de croissance déterminée. La figure ne change pas la valeur de l'entier : elle en montre une organisation. Pour la famille triangulaire, le nombre de rangées est noté n. Le nombre total de points, noté T_n, vaut $T_n=1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}T\_n=1+2+\backslash cdots+n=\backslash frac\{n(n+1)\}\{2\}$. Ainsi, cinq rangées contiennent T₅ = 15 points.

Les familles se classent selon la dimension de la figure. Les nombres linéaires relèvent d'une disposition sur une ligne. Parmi les nombres plans figurent les nombres polygonaux — triangulaires, carrés ou hexagonaux —, les polygonaux centrés, les rectangles, les oblongs et les gnomoniques. Les nombres solides correspondent à des configurations tridimensionnelles, notamment pyramidales ou tétraédriques. Les nombres hypersolides prolongent ce classement dans des dimensions supérieures.

Cette arithmétique géométrique remonte à l'Antiquité et son étude est traditionnellement attribuée à Pythagore, dans une philosophie où les nombres fondaient la réalité. Pascal compte parmi les mathématiciens qui ont ensuite approfondi le sujet et lui a consacré un traité. Les configurations de points servent encore à visualiser des propriétés arithmétiques, notamment en pédagogie.

Construisons le nombre triangulaire correspondant à cinq rangées. Les données sont le nombre de rangées, n = 5, et la règle suivante : la rangée numéro k contient k points.

1. Les quatre premières rangées contiennent 1 + 2 + 3 + 4 = 10 points.
2. La cinquième rangée ajoute 5 points.
3. Le total devient 10 + 5 = 15 points.
4. La formule donne le même résultat : $T_5=\frac{5\times (5+1)}{2}=15T\_5=\backslash frac\{5\backslash times(5+1)\}\{2\}=15$.

Le nombre 15 est donc le cinquième nombre triangulaire. La configuration comporte bien cinq rangées de longueurs 1, 2, 3, 4 et 5. Pour contrôler le calcul, on additionne ces longueurs : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. La figure matérialise aussi le passage de 10 à 15 par l'ajout exact de cinq points.

Avec des jetons ou un quadrillage, on construit successivement 1, 3, 6, 10 et 15 points. Ce geste fait apparaître l'accroissement d'une rangée à la suivante ; une liste de valeurs convient mieux lorsque seule la suite des résultats importe.

Une configuration aide aussi à chercher une relation arithmétique. Deux triangles identiques de cinq rangées peuvent être assemblés mentalement en un rectangle de 5 lignes et 6 colonnes : chaque triangle contient donc la moitié de 30 points. Pour une démonstration générale, la formule algébrique explicite ensuite le raisonnement.

Pour classer un entier figuré, on observe la règle de disposition avant son seul contour : triangle, carré, polygone centré, pyramide ou autre famille. Si les points ne suivent pas une construction régulière reproductible, un simple dessin de points ne suffit pas à définir une famille figurée.

Un nombre figuré n'est pas un chiffre. Le nombre 15 est une quantité que quinze points peuvent représenter ; les chiffres 1 et 5 sont les signes employés pour écrire cette quantité en base dix.

Un nombre polygonal n'est pas synonyme de tout nombre figuré. Il appartient aux nombres plans et suit une construction polygonale ; un nombre pyramidal est lui aussi figuré, mais sa configuration est solide.

Un nombre triangulaire et un nombre carré obéissent à des règles différentes. Avec quatre rangées, la construction triangulaire donne 1 + 2 + 3 + 4 = 10 points, tandis qu'un carré de côté 4 en contient 4 × 4 = 16.

La convention de départ doit être annoncée. Une construction à une rangée commence par T₁ = 1 ; certaines suites sont prolongées à l'indice 0 avec T₀ = 0. Ce terme nul ne forme pas un triangle visible, mais il respecte la formule.

Le contour seul peut tromper. Quinze points dispersés dans une silhouette vaguement triangulaire ne suffisent pas : il faut vérifier les cinq rangées régulières de 1, 2, 3, 4 et 5 points, ou une règle équivalente.

Une image suggère une propriété, mais ne la démontre pas automatiquement pour tous les rangs. L'assemblage de deux triangles éclaire la formule ; la justification doit encore expliquer pourquoi le même assemblage fonctionne pour tout entier naturel n du domaine choisi.

La dimension appartient à la classification, pas nécessairement au dessin imprimé. Une pyramide peut être représentée sur une page plane, mais le nombre pyramidal décrit des couches pensées dans l'espace ; il ne devient pas pour autant un nombre polygonal.

Le nombre triangulaire détaille la famille utilisée dans l'exemple et la somme des entiers successifs.

Le nombre carré montre une autre construction plane, fondée sur des rangées de même longueur.

Le nombre polygonal rassemble et ordonne plusieurs familles planes selon le polygone qui guide leur croissance.

Le nombre pyramidal prolonge l'idée dans l'espace en empilant des couches polygonales.