nombre pyramidal

Imaginez des oranges rangées en couches carrées. La couche du sommet contient une orange, la suivante en contient quatre, puis viennent neuf et seize oranges. L'empilement complet en réunit donc trente.

Ce total est un nombre pyramidal : il additionne les nombres figurés dessinés par les couches successives. La forme de la base fixe la famille. Une base carrée donne des couches carrées ; une base triangulaire conduit au cas tétraédrique.

Un nombre pyramidal est un nombre figuré en trois dimensions. On choisit un polygone régulier comportant un nombre de côtés noté k, puis un rang entier positif noté n. Le nombre k-pyramidal de rang n est la somme des nombres k-polygonaux de rangs 1 à n. Les couches ont donc la même forme polygonale, mais leur rang décroît jusqu'à 1 lorsque l'empilement est lu de la base au sommet.

Avec ces notations, son terme général est : Pour une base carrée, k vaut 4 et les couches comptent 1, 4, 9, 16, etc. Pour une base triangulaire équilatérale, k vaut 3 : le nombre obtenu est appelé nombre tétraédrique.

L'empilement de sphères donne une représentation concrète de cette construction en dimension D3. En dimension D4, on additionne à leur tour les nombres k-pyramidaux successifs de dimension D3. Le résultat porte le nom de nombre hyperpyramidal ou hypersolide, et la même idée de sommation se prolonge dans les dimensions supérieures.

On construit une pyramide à base carrée de rang 4. Les données sont une base à k = 4 côtés et un rang n = 4. Les quatre couches carrées contiennent respectivement 1, 4, 9 et 16 points.

1. On additionne directement les couches : 1 + 4 + 9 + 16 = 30.

2. On contrôle avec le terme général en remplaçant k et n par 4 :

3. Le numérateur vaut 4 × 5 × 9 = 180, puis 180 ÷ 6 = 30.

Le nombre pyramidal carré de rang 4 est donc 30. Le contrôle est refaisable sans formule : compter les 1 + 4 + 9 + 16 points de la figure donne le même total.

Pour compter un empilement régulier de sphères, on repère d'abord la forme de chaque couche. Si la base est carrée, le comptage couche par couche donne 1 + 4 + 9 + 16 = 30 au rang 4. Cette décomposition est préférable au comptage visuel global lorsque des sphères en cachent d'autres.

Pour un rang élevé, le terme général remplace une longue addition. Le nombre de côtés de la base fournit k, et le nombre de couches fournit n. On conserve l'addition des couches comme contrôle sur un petit rang.

Pour reconnaître la famille, on observe la base plutôt que la silhouette seule. Une base triangulaire équilatérale signale un nombre tétraédrique ; une base carrée signale un nombre pyramidal carré.

Nombre k-polygonal. Il décrit une seule couche plane de rang n. Le nombre k-pyramidal additionne toutes les couches de rangs 1 à n. Ainsi, 16 est la couche carrée de rang 4, tandis que 30 est le total pyramidal 1 + 4 + 9 + 16.

Nombre tétraédrique. Ce n'est pas un synonyme de tous les nombres pyramidaux, mais le cas dont la base est un triangle équilatéral. Une base carrée de rang 4 donne 30 et n'appartient donc pas à la famille tétraédrique.

Paramètres de la construction. Dans l'interprétation par couches, k est le nombre de côtés d'un polygone régulier et n est un rang entier positif. Une valeur non entière ne décrit pas un nombre de couches ; il faut alors revenir au domaine discret de la définition.

Rang et total. Au rang 4 d'une base carrée, la dernière couche contient 16 points, mais la pyramide entière en contient 30. Confondre ces deux valeurs revient à oublier les couches de rangs 1, 2 et 3.

Dimension. La pyramide de sphères représente la construction D3. L'expression « hyperpyramidal » intervient en D4, lorsque les termes additionnés sont eux-mêmes des nombres pyramidaux D3 ; ce n'est pas une couche supplémentaire de la même pyramide matérielle.

Le passage d'une couche polygonale à un solide pyramidal repose sur une sommation. Répéter ce geste fait apparaître la dimension suivante : la somme de nombres pyramidaux D3 produit un nombre hyperpyramidal D4, puis le procédé continue par analogie.

Le glossaire nombre tétraédrique approfondit le cas particulier où les couches ont une base triangulaire équilatérale.