nombre tétraédrique

Imaginez des billes rangées en triangles, puis empilées pour former un tétraèdre. Au rang 4, les couches contiennent successivement 1, 3, 6 et 10 billes. Leur réunion en contient donc 20. La figure détaille ces quatre couches sans masquer leur effectif.

Le nombre 20 est ainsi tétraédrique : il compte tous les points du solide, pas seulement ceux de sa base triangulaire. En ajoutant une nouvelle couche triangulaire, on obtient le nombre tétraédrique suivant.

Pour tout entier positif n, le nombre tétraédrique de rang n, noté T_n, compte les points d'un empilement à n couches triangulaires. La couche numéro k contient le k-ième nombre triangulaire, soit k(k + 1)/2 points. Le solide obtenu est un nombre figuré à trois dimensions et un cas particulier de nombre pyramidal à base triangulaire. Additionner les n couches donne l'identité suivante.

Les premiers termes à partir du rang 1 sont 1, 4, 10, 20 et 35. La même quantité compte les choix non ordonnés de trois éléments parmi n + 2 : $T_n=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+2}{3}\right)T\_n=\backslash binom\{n+2\}\{3\}$. Elle apparaît donc à la quatrième position de chaque ligne pertinente du triangle de Pascal lorsque la première position, égale à 1, est comptée comme la première.

Construisons le nombre tétraédrique de rang 4. Les données sont le rang n = 4 et quatre couches triangulaires, numérotées de 1 à 4.

1. La première couche contient 1 point. La deuxième en contient 2 × 3/2 = 3.

2. La troisième couche contient 3 × 4/2 = 6 points. La quatrième, qui sert de base, en contient 4 × 5/2 = 10.

3. Additionnons les quatre effectifs : 1 + 3 + 6 + 10 = 20. Le nombre tétraédrique de rang 4 est donc T₄ = 20 points.

4. Contrôlons avec la formule fermée : 4 × 5 × 6/6 = 20. Les deux méthodes donnent exactement le même total.

Pour compter un empilement tétraédrique de n couches, utilisez directement n(n + 1)(n + 2)/6. Si les couches sont visibles séparément, additionner leurs effectifs triangulaires offre un contrôle concret ; au rang 4, les deux voies donnent 20.

Pour reconnaître un nombre candidat, cherchez un entier positif n qui satisfasse la formule. Par exemple, 20 convient avec n = 4, tandis que 21 n'est pas tétraédrique puisque les valeurs consécutives encadrantes sont 20 et 35.

Dans un problème de dénombrement, la forme $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+2}{3}\right)\backslash binom\{n+2\}\{3\}$ est souvent plus parlante que l'empilement. Elle convient lorsque l'ordre des trois éléments choisis ne compte pas ; si l'ordre compte, il faut employer un autre dénombrement.

Nombre triangulaire. Il compte les points d'une seule figure plane, alors qu'un nombre tétraédrique cumule plusieurs couches triangulaires. Au rang 4, la couche triangulaire contient 10 points, mais le tétraèdre complet en contient 20.

Nombre pyramidal à base carrée. Ses couches sont des carrés, et non des triangles. Quatre couches carrées totalisent 1 + 4 + 9 + 16 = 30 points ; les quatre couches triangulaires du même rang en totalisent 20.

Tétraèdre géométrique. Le tétraèdre est un solide à quatre faces triangulaires ; le nombre tétraédrique est l'effectif de points disposés selon ce solide. Un tétraèdre peut changer de taille sans que le nombre de points d'un empilement donné change.

Rang zéro. La suite est généralement présentée à partir de n = 1. Si l'on prolonge la formule à n = 0, elle donne T₀ = 0, interprété comme l'empilement vide. Il faut annoncer cette convention avant d'inclure 0 dans la liste.

Couche et total. Le facteur n(n + 1)/2 compte seulement la n-ième couche triangulaire ; n(n + 1)(n + 2)/6 compte toutes les couches jusqu'à n. Au rang 4, confondre les deux donne 10 au lieu de 20.

Colonne du triangle de Pascal. L'expression « quatrième colonne » suppose que le bord composé de 1 est la première colonne. Avec des indices commençant à 0, les mêmes coefficients forment la colonne d'indice 3. La formule $T_n=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+2}{3}\right)T\_n=\backslash binom\{n+2\}\{3\}$ lève l'ambiguïté.

Forme du solide. Une pyramide ayant seulement une base équilatérale n'est pas nécessairement un tétraèdre régulier. Pour être régulier, le solide doit avoir quatre faces triangulaires équilatérales ; un simple dessin en perspective ne suffit pas à le garantir.

nombre triangulaire — Étudier la couche plane dont la somme successive construit chaque nombre tétraédrique.

nombre pyramidal — Replacer la base triangulaire dans la famille plus large des empilements pyramidaux.

triangle de Pascal — Retrouver les nombres tétraédriques parmi les coefficients binomiaux et suivre leur récurrence.