GéométrieObjet géométrique · Glossaire
triangle de Pascal
Le triangle de Pascal est une disposition triangulaire des coefficients binomiaux : chaque ligne donne les coefficients du développement d’une puissance d’un binôme. Il se construit en plaçant 1 sur les bords, puis en obtenant chaque case intérieure par la somme des deux cases situées juste au-dessus. Il sert notamment à développer des binômes et à compter des choix.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire une ligne en additionnant chaque paire de parents.
- Lire un coefficient binomial comme un nombre de choix non ordonnés.
- Développer (a + b) exposant 5 à partir de la ligne 5.
- Contrôler la ligne 5 par sa somme, égale à 32.
- Éviter les décalages d'indices et les lectures abusives des diagonales.
En clair
Disposez un 1 au sommet, puis bordez chaque nouvelle ligne par des 1. Pour remplir une case intérieure, additionnez les deux nombres placés juste au-dessus : sous 4 et 6 vient ainsi 10. En répétant ce geste, on obtient les lignes 1 ; 1, 1 ; 1, 2, 1 ; puis 1, 3, 3, 1.
Cette construction est le triangle de Pascal. Sa ligne 5 vaut 1, 5, 10, 10, 5, 1 : elle indique notamment qu'il existe 10 façons de choisir 2 objets parmi 5.
Définition
Le triangle de Pascal est le tableau triangulaire des coefficients binomiaux. En numérotant les lignes à partir de 0, la ligne d'indice n contient n + 1 nombres. Le nombre de la colonne d'indice k, avec 0 ≤ k ≤ n, est noté . Il compte les choix possibles de k objets parmi n, sans tenir compte de leur ordre.
Les deux bords valent 1. Toute case intérieure obéit à la formule de Pascal : . Cette relation exprime deux cas disjoints : un objet fixé appartient au choix, ou il n'y appartient pas. Elle construit chaque ligne à partir de la précédente.
Les nombres de la ligne n sont aussi les coefficients du développement de (a + b)n. La disposition, connue avant Pascal en Perse, en Chine et en Europe, porte aussi les noms de triangle de Yang Hui en Chine et de triangle de Tartaglia en Italie. Pascal lui consacre en 1654 son Traité du triangle arithmétique.
De quoi c'est fait
Le triangle comporte des lignes horizontales, numérotées ici à partir de 0, et des colonnes obliques d'indice k. La case située à leur rencontre porte le coefficient . Les deux bords, pour k = 0 et k = n, ne contiennent que des 1.
Chaque case intérieure dépend de deux parents de la ligne précédente. La figure isole ce lien : les parents 4 et 6 produisent la case 10 de la ligne 5. Cette dépendance locale suffit, avec le sommet et les bords, à construire toutes les lignes.
Les diagonales peu profondes forment d'autres suites : leur somme par diagonales décalées fournit les nombres de Fibonacci. L'alignement dessiné, l'écart entre les cases ou la forme exacte du contour ne définissent pas l'objet ; seuls les coefficients, leurs indices et leurs relations comptent.
Un exemple, pas à pas
Construisons la ligne d'indice 5 et utilisons-la pour développer (a + b)5. Les données sont la ligne 4, soit 1, 4, 6, 4, 1, les bords égaux à 1 et la règle d'addition des deux parents.
1. Conservons 1 aux deux extrémités de la nouvelle ligne.
2. Additionnons les voisins de la ligne 4 : 1 + 4 = 5, 4 + 6 = 10, 6 + 4 = 10 et 4 + 1 = 5. La ligne 5 est donc 1, 5, 10, 10, 5, 1.
3. Associons ces six coefficients aux puissances décroissantes de a et croissantes de b :
4. Contrôlons avec a = 1 et b = 1. Le membre de gauche vaut 25 = 32, et la somme de la ligne vaut 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32. Le coefficient 10 de a3b2 confirme aussi les 10 choix de 2 objets parmi 5.
En pratique
Pour développer une puissance (a + b)n, lisez la ligne d'indice n et associez ses coefficients aux puissances complémentaires de a et b. Pour un exposant élevé, la formule factorielle est souvent plus rapide si une seule case est recherchée.
Dans un problème de dénombrement, la case de coordonnées n et k compte les groupes de k objets choisis parmi n. Si l'ordre des objets compte, ce coefficient ne suffit pas : il faut utiliser un comptage ordonné.
Pour contrôler une ligne calculée, additionnez ses termes : la somme doit valoir 2n. On peut aussi vérifier sa symétrie, car choisir k objets revient à désigner les n − k objets laissés de côté.
À ne pas confondre
Triangle de Pascal et nombres triangulaires. Le triangle de Pascal est un tableau de coefficients, tandis qu'un nombre triangulaire compte des points disposés en triangle. Les nombres 1, 3, 6, 10 apparaissent dans une diagonale du tableau, mais ils ne constituent pas tout le triangle de Pascal.
Coefficient binomial et arrangement. Le coefficient compte les paires non ordonnées choisies parmi cinq objets. Si AB et BA doivent compter comme deux résultats, le problème porte sur des choix ordonnés et donne 5 × 4 = 20.
Limites et pièges
Origine des indices. Certains tableaux appellent « première ligne » la ligne contenant seulement 1, alors qu'elle porte ici l'indice 0. Le symptôme est un décalage entre l'exposant n et la ligne lue ; vérifiez que la ligne utilisée contient n + 1 coefficients.
Cases hors du triangle. La notation combinatoire ordinaire demande 0 ≤ k ≤ n. Pour prolonger commodément la récurrence, on peut poser le coefficient égal à 0 lorsque k < 0 ou k > n, mais il s'agit d'une convention à annoncer, pas d'une case dessinée du triangle.
Lecture des diagonales. Les nombres de Fibonacci s'obtiennent en additionnant des diagonales décalées, et non en lisant une diagonale unique. Les nombres de Catalan et certaines identités trigonométriques liées à la formule de Moivre exigent eux aussi une extraction ou une combinaison précise des coefficients.
Dimension supérieure. La même idée se généralise, mais le triangle plan n'est plus le bon support. En dimension 3, les coefficients multinomiaux forment une pyramide, ou tétraèdre, de Pascal ; en dimension d, ils s'organisent dans un simplexe de Pascal.
Pour aller plus loin
binôme de Newton — Relier chaque ligne du triangle aux coefficients du développement de (a + b)n.
suite de Fibonacci — Suivre les diagonales décalées dont les sommes font apparaître la suite.
nombre de Catalan — Examiner une autre famille de nombres extraite des coefficients binomiaux.
formule de Moivre — Voir les coefficients binomiaux intervenir dans les puissances d'un nombre complexe.
Le très mal nommé « triangle de Pascal » — Approfondir l'histoire internationale du triangle et de ses différents noms.
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