simplexe de Pascal

Imaginez que l'on développe (x + y + z)⁴. Plusieurs choix successifs produisent le même terme : x²yz apparaît chaque fois que deux des quatre facteurs fournissent x, un autre y et le dernier z. Il y a 12 ordres possibles.

Le simplexe de Pascal range tous ces nombres selon les exposants. Avec deux termes, ce rangement forme le triangle de Pascal. Avec trois termes, les couches triangulaires s'empilent en une pyramide.

Un p-simplexe de Pascal organise les coefficients obtenus en développant les puissances d'une somme de p termes. Pour une puissance entière naturelle n, chaque entrée est repérée par p exposants entiers naturels a₁, …, a_p dont la somme vaut n. Le coefficient associé compte les suites de n choix comportant exactement a₁ choix du premier terme, puis a₂ du deuxième, et ainsi de suite.

Ce coefficient p-nomial, aussi appelé coefficient multinomial, est donné par : $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{a_1,\dots ,a_p}\right)=\frac{n!}{a_1!\cdots a_p!},a_1+\cdots +a_p=n\backslash binom\{n\}\{a\_1,\backslash ldots,a\_p\}=\backslash frac\{n!\}\{a\_1!\backslash cdots\; a\_p!\},\backslash qquad\; a\_1+\backslash cdots+a\_p=n$. Chaque entrée intérieure est aussi la somme des p entrées qui la précèdent, une dans chaque direction d'indice ; une entrée située hors du domaine des indices naturels est prise égale à zéro.

Pour p = 2, les couches successives donnent le triangle de Pascal et les coefficients binomiaux. Pour p = 3, chaque couche de puissance n est triangulaire ; leur empilement constitue la pyramide, ou le tétraèdre, de Pascal et contient les coefficients trinomiaux. Les appellations et la numérotation des dimensions peuvent varier : il faut vérifier si p compte les termes de la somme ou désigne la dimension géométrique adoptée par l'auteur.

On rencontre le simplexe de Pascal dans un développement tel que (x + y + z)ⁿ, dans un problème de dénombrement ou sous la forme d'un empilement de nombres. Une couche regroupe les exposants dont la somme est la même. Les positions où un seul exposant vaut n portent un 1 ; les arêtes portent des coefficients binomiaux. Les valeurs sont symétriques lorsqu'on permute les termes, et une entrée intérieure additionne ses prédécesseurs. Le support encode ainsi, en une position, à la fois une répartition d'exposants et son nombre d'ordres possibles.

La grandeur lue est le coefficient associé à une répartition d'exposants. 1. Comptez d'abord le nombre p de termes dans la somme. 2. Repérez la puissance totale n. 3. Lisez les p exposants, en vérifiant que leur somme vaut n. 4. Prenez la valeur placée à cette position, ou calculez-la par la formule factorielle.

Dans la couche n = 4 du 3-simplexe, la position (2, 1, 1) porte donc 12. Une couche triangulaire peut faire croire qu'on regarde seulement un triangle de Pascal ordinaire. Le bon réflexe est de compter les indices : trois exposants signalent ici une somme à trois termes, même si leur représentation tient dans un triangle.

Cherchons le coefficient de x²yz dans (x + y + z)⁴. Les données sont trois termes, une puissance totale égale à 4 et les exposants (2, 1, 1).

1. La somme des exposants vaut 2 + 1 + 1 = 4 : la position appartient bien à la couche n = 4.

2. Le coefficient trinomial se calcule par : $\frac{4!}{2!1!1!}=\frac{24}{2}=12\backslash frac\{4!\}\{2!\backslash ,1!\backslash ,1!\}=\backslash frac\{24\}\{2\}=12$.

3. Le développement contient donc le terme 12x²yz. La couche complète représentée rassemble les 15 triplets d'exposants naturels dont la somme vaut 4.

Contrôle combinatoire : on choisit d'abord les deux positions de x parmi quatre, soit 6 possibilités, puis la position de y parmi les deux restantes, soit 2 possibilités. Le produit 6 × 2 = 12 confirme le coefficient.

Pour développer une puissance d'une somme, on lit directement le coefficient correspondant aux exposants voulus. Si la somme ne contient que deux termes, le triangle de Pascal suffit ; à partir de trois termes, le simplexe adapté évite de refaire chaque produit.

Dans un dénombrement de suites comportant plusieurs catégories, on associe chaque catégorie à un exposant. La formule multinomiale est préférable à une énumération lorsque l'ordre compte mais que seuls les effectifs de chaque catégorie sont fixés.

Pour calculer de nombreuses valeurs voisines, la règle d'addition des prédécesseurs exploite la structure du simplexe. Pour une seule valeur éloignée, la formule avec les factorielles est généralement plus directe.

Avec un simplexe géométrique. Un simplexe géométrique est l'enveloppe de sommets affinement indépendants, comme un segment, un triangle ou un tétraèdre. Le simplexe de Pascal est un arrangement de coefficients : la présence de valeurs issues de développements algébriques tranche.

Avec un coefficient multinomial isolé. Le coefficient est un seul nombre associé à un p-uplet d'exposants. Le simplexe rassemble ces nombres et leurs relations pour toutes les positions et, selon la représentation, pour plusieurs puissances successives.

Convention de dimension. Certains textes indexent l'objet par le nombre de termes, d'autres par sa dimension géométrique. Un p-simplexe géométrique possède p + 1 sommets et p directions affines indépendantes, tandis qu'une somme de p termes donne des couches d'exposants de dimension p − 1. Il faut donc lire la convention locale avant de comparer deux formules.

Indices hors domaine. La formule factorielle suppose n et tous les exposants entiers naturels, avec une somme égale à n. Un exposant négatif ou une somme différente signale que la position n'appartient pas à la couche ; son coefficient n'est pas obtenu par cette formule.

Couche et objet complet. Pour p = 3, une couche de puissance fixée est un triangle de coefficients, mais le 3-simplexe complet empile toutes les couches. Confondre les deux fait perdre l'indice n ; il faut préciser la puissance représentée.

Calcul numérique. Les factorielles deviennent très grandes avant même leur quotient. Pour de grands indices, on simplifie les facteurs ou on utilise une récurrence afin d'éviter des nombres intermédiaires inutilement volumineux.

Le triangle de Pascal présente le cas à deux termes et la règle d'addition qui se généralise aux directions du simplexe.