Degré total

Prenons le monôme x²y. Il contient deux facteurs x et un facteur y : on compte donc trois facteurs variables au total. Son degré total vaut 3. Dans un polynôme à plusieurs variables, on fait ce comptage terme par terme, puis on garde le plus grand résultat parmi les termes dont le coefficient n'est pas nul. Pour x²y + xy³ + z, les trois comptes donnent 3, 4 et 1 : le degré total du polynôme est 4.

Un monôme en plusieurs variables est le produit d'un coefficient et de puissances de ces variables, dont les exposants sont des entiers naturels. Pour un monôme en trois variables x, y et z, d'exposants respectifs a, b et c, son degré total est donné par $a+b+ca+b+c$. Les variables absentes ont un exposant nul et ne changent pas cette somme.

Un polynôme multivarié est une somme de monômes. Son degré total est le plus grand degré total des monômes dont le coefficient est non nul. Ainsi, les termes effectivement présents déterminent seuls le maximum ; une annulation après réduction peut donc le modifier.

Un polynôme non nul est homogène lorsque tous ses monômes non nuls ont le même degré total. Cette valeur commune est alors le degré du polynôme homogène. Le degré total classe ainsi les termes par couches homogènes et intervient dans l'étude des variétés algébriques.

On rencontre le degré total dans une expression polynomiale qui fait intervenir plusieurs lettres, par exemple x, y et z. Plusieurs indices le signalent : l'expression est une somme de termes, chaque terme est un produit de puissances, les exposants sont visibles au-dessus des variables et certains termes peuvent ne contenir qu'une partie des variables. La valeur cherchée porte sur l'ensemble du polynôme, mais elle se lit d'abord sur chacun de ses monômes. Elle sert notamment à repérer les termes d'une même couche homogène.

La grandeur lue est un entier : le plus grand nombre total de facteurs variables dans un monôme non nul. 1. Réduisez d'abord l'expression pour regrouper d'éventuels monômes semblables. 2. Pour chaque monôme restant, additionnez tous les exposants ; une variable sans exposant écrit a pour exposant 1. 3. Écartez les monômes de coefficient nul. 4. Prenez le maximum des sommes obtenues.

Le piège visuel consiste à retenir seulement l'exposant le plus haut. Dans xy³, l'œil voit 3, mais l'exposant 1 de x compte aussi : le total vaut 4. Le bon réflexe est d'écrire mentalement les exposants 1 qui sont sous-entendus, puis de sommer terme par terme.

Considérons le polynôme P en trois variables x, y et z :Les données sont les trois monômes x²y, xy³ et z, tous de coefficient non nul.

1. Pour x²y, les exposants sont 2 pour x et 1 pour y : le degré total vaut 2 + 1 = 3.
2. Pour xy³, les exposants sont 1 pour x et 3 pour y : le degré total vaut 1 + 3 = 4.
3. Pour z, l'exposant sous-entendu est 1 : le degré total vaut 1.
4. Le maximum de 3, 4 et 1 est 4. Le degré total de P est donc 4.

Le contrôle consiste à isoler les termes qui atteignent le maximum : ici, seul xy³ contient quatre facteurs variables. Le schéma associé rend visibles les trois sommes et le maximum retenu.

Pour classer les termes d'un polynôme, on calcule leur degré total et on regroupe ceux qui donnent la même somme. Si tous les termes non nuls appartiennent à un seul groupe, le polynôme est homogène.

Pour comparer la complexité algébrique de plusieurs expressions multivariées, on réduit d'abord chaque polynôme, puis on compare leurs degrés totaux. Le degré partiel est préférable si la question porte sur une variable précise.

Dans l'étude d'une variété algébrique, les équations polynomiales sont notamment organisées selon leur degré total. Ce repère conserve une vue globale des exposants de chaque monôme.

Degré partiel. Il ne somme pas tous les exposants : il regarde une variable choisie et retient son plus grand exposant. Pour xy³, le degré total vaut 4, tandis que le degré partiel en x vaut 1 et celui en y vaut 3.

Degré d'un polynôme à une variable. Avec une seule variable, le degré d'un monôme est son unique exposant. La somme de plusieurs exposants n'apparaît que dans le cadre multivarié.

Expression non réduite. Deux monômes de degré maximal peuvent s'annuler. Dans x²y − x²y + z, lire les termes avant réduction suggère 3, mais le polynôme réduit est z et son degré total vaut 1. Il faut donc réduire avant de prendre le maximum.

Terme constant non nul. Un nombre seul ne contient aucun facteur variable : la somme de ses exposants vaut 0. Un polynôme constant non nul a donc un degré total égal à 0.

Polynôme nul. Il ne possède aucun monôme à coefficient non nul, donc la règle du maximum ne fournit pas d'entier. Une convention doit être annoncée explicitement au lieu de lui attribuer automatiquement le degré 0.

Le degré partiel complète la mesure globale en isolant l'influence d'une variable. Le degré d'un polynôme montre comment la même idée se simplifie lorsqu'il n'y a qu'une seule variable. Ces deux lectures aident à distinguer une information répartie entre plusieurs variables d'un exposant observé isolément.