Degré d'un polynôme

Dans le polynôme 4X⁵ − 3X² + 7, on regarde les exposants associés aux termes qui ne sont pas nuls : 5, 2 et 0. Le plus grand est 5. Le polynôme est donc de degré 5.

Les puissances absentes, comme X⁴ ou X³, ne changent rien. L'ordre d'écriture non plus : il faut d'abord regrouper les termes de même puissance, puis repérer le plus grand exposant dont le coefficient ne s'annule pas.

Un polynôme en une variable X s'écrit comme une somme finie de puissances de X multipliées par des coefficients. Pour un polynôme non nul P, son degré est le plus grand entier n dont le coefficient a_n est non nul. Une écriture ordonnée est :

Le terme a_nXⁿ est le terme dominant, et a_n est son coefficient dominant. Un coefficient nul ne compte pas, même si le terme correspondant est écrit. Tout polynôme constant non nul a le degré 0. Le polynôme nul n'a pas de plus grand exposant non nul : selon la convention adoptée, son degré est laissé indéfini ou noté −∞. Sur un corps, ou plus généralement un anneau intègre, deux polynômes non nuls vérifient deg(PQ) = deg(P) + deg(Q). Sur un corps algébriquement clos, un polynôme non constant de degré n possède exactement n racines lorsque les multiplicités sont comptées.

Dans P(X) = 4X⁵ − 3X² + 7, la variable X reçoit les puissances ; les exposants 5, 2 et 0 indiquent ces puissances ; les coefficients 4, −3 et 7 les pondèrent. Chaque produit coefficient-puissance forme un monôme, et leur somme forme le polynôme. Le terme constant 7 correspond à la puissance X⁰.

Le coefficient et l'exposant dépendent l'un de l'autre pour déterminer si une puissance participe au degré : un grand exposant associé à un coefficient nul disparaît. Après regroupement des monômes de même puissance, le terme 4X⁵ reste celui de plus haut exposant. Il est le terme dominant ; son coefficient 4 est le coefficient dominant. Ces données suffisent à lire le degré 5 et à prévoir le terme dominant d'un produit.

On considère deux polynômes à coefficients réels : P(X) = 4X⁵ − 3X² + 7 et Q(X) = 2X² − X + 1. Les coefficients dominants annoncés sont 4 et 2.

1. Dans P, le plus grand exposant associé à un coefficient non nul est 5 : deg(P) = 5.
2. Dans Q, ce plus grand exposant est 2 : deg(Q) = 2.
3. Le développement du produit donne :

4. Le coefficient du terme en X⁷ vaut 8, produit de 4 par 2 ; il est non nul. Ainsi deg(PQ) = 7.
5. Le contrôle consiste à additionner les degrés : 5 + 2 = 7. Le résultat concorde avec le plus grand exposant du développement.

Pour lire le degré d'une expression développée, on regroupe d'abord les termes de même puissance. On choisit cette lecture directe plutôt qu'un développement supplémentaire lorsque le polynôme est déjà sous forme canonique.

Pour anticiper le degré d'un produit de polynômes non nuls à coefficients réels, on additionne leurs degrés. Cette règle évite le développement complet ; on développe seulement si l'on a aussi besoin des autres coefficients.

Pour une somme, on inspecte les termes dominants au lieu d'additionner les degrés. Si deux termes de plus haut degré s'annulent, le degré de la somme baisse ; le regroupement des termes devient alors indispensable.

Pour compter les racines avec multiplicité, le degré fixe le total seulement dans le cadre annoncé d'un corps algébriquement clos. Sur les nombres réels, on préfère rechercher les racines réelles sans supposer que leur nombre égale toujours le degré.

Degré et coefficient dominant. Le degré est un exposant, tandis que le coefficient dominant multiplie la puissance correspondante. Pour 4X⁵ − 3X² + 7, ils valent respectivement 5 et 4.

Degré et nombre de monômes. Le nombre de termes non nuls ne mesure pas le degré. X⁸ + 1 ne contient que deux monômes mais possède le degré 8.

Degré en une variable et degré total. Pour plusieurs variables, on additionne les exposants d'un monôme afin d'obtenir son degré total. Ainsi X²Y³ a pour degré total 5, alors que son degré par rapport à X vaut 2.

Polynôme nul. Tous ses coefficients sont nuls, donc aucun plus grand exposant ne peut être retenu. Il faut annoncer la convention : degré indéfini dans certains cadres, ou deg(0) = −∞ dans d'autres.

Constante non nulle. Une constante comme 7 s'écrit 7X⁰. Son degré est donc 0, et non 1 ; le seuil entre polynômes constants et non constants se situe au degré 0.

Coefficients avec diviseurs de zéro. La formule deg(PQ) = deg(P) + deg(Q) suppose notamment des coefficients dans un anneau intègre. Modulo 4, les polynômes 2X + 1 et 2X + 1 ont chacun le degré 1, mais leur produit vaut 1 : le terme 4X² et le terme 4X s'annulent modulo 4.

Nombre de racines. L'égalité entre degré et nombre de racines comptées avec multiplicité exige un polynôme non constant sur un corps algébriquement clos. Sur les réels, X² + 1 a le degré 2 mais aucune racine réelle ; il faut préciser le corps où les racines sont cherchées.

Dominant (coefficient) précise le rôle du coefficient porté par le terme de plus haut degré.

Degré total prolonge la lecture du degré lorsque plusieurs variables apparaissent dans un même monôme.

Le corps algébriquement clos donne le cadre où un polynôme de degré n possède n racines comptées avec multiplicité.