AlgèbreUnité de mesure · Glossaire
Degré partiel
Le degré partiel d'un polynôme en plusieurs variables par rapport à une variable donnée est le plus grand exposant de cette variable dans les monômes du polynôme à coefficient non nul. Par exemple, dans le polynôme 3x^2y + xy^3 + 2, le degré partiel en x est 2 et le degré partiel en y est 3. Cette notion est utile pour analyser les polynômes multivariés et les classer selon leurs degrés dans chaque variable séparément, distinct du degré total qui somme tous les exposants d'un monôme.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Repérer séparément l'exposant maximal de chaque variable.
- Calculer les degrés partiels d'un polynôme après réduction.
- Distinguer degré partiel, degré d'un monôme et degré total.
- Traiter la variable absente et le polynôme nul sans ambiguïté.
En clair
Dans le polynôme 3x2y + xy3 + 2, on peut suivre séparément les puissances de x et celles de y. Pour x, les exposants visibles sont 2, 1 et 0 : le plus grand est 2. Pour y, ils sont 1, 3 et 0 : le plus grand est 3. Ces deux maxima sont les degrés partiels. Ils indiquent jusqu'où monte chaque variable, sans mélanger leurs exposants.
Définition
Un polynôme en plusieurs variables est une somme de monômes, chacun étant formé d'un coefficient et de puissances entières naturelles des variables. Pour une variable choisie, le degré partiel est le plus grand exposant de cette variable parmi les monômes dont le coefficient est non nul, après regroupement des monômes semblables.
Si le polynôme P dépend des variables x et y, son degré partiel en x se note . Ainsi, pour P = 3x2y + xy3 + 2, on a et . La constante 2 porte l'exposant 0 pour chaque variable.
Le degré partiel dépend donc de la variable choisie. Il ne faut pas additionner les exposants pour le calculer : cette somme intervient dans le degré d'un monôme, puis dans le degré total du polynôme.
Où on le rencontre
On rencontre le degré partiel dans une expression où plusieurs lettres jouent le rôle de variables, par exemple x et y. Les marqueurs utiles sont les monômes séparés par des signes + ou −, le coefficient placé devant chaque monôme, les exposants attachés aux variables et les variables absentes d'un monôme. La liste des degrés partiels résume alors la puissance maximale atteinte séparément par chaque variable.
Le mode d'emploi
La grandeur lue est l'exposant maximal d'une variable précise. 1. Réduisez d'abord le polynôme en regroupant les monômes semblables. 2. Choisissez une variable, par exemple x. 3. Lisez son exposant dans chaque monôme à coefficient non nul ; si x est absent, son exposant vaut 0. 4. Gardez le plus grand de ces exposants, puis recommencez pour une autre variable.
L'œil peut être attiré par le monôme qui cumule le plus de puissances. Ce réflexe donne le degré total, pas nécessairement le degré partiel recherché. Le bon contrôle consiste à masquer mentalement toutes les variables sauf celle que l'on étudie.
Un exemple, pas à pas
Considérons le polynôme P = 3x2y + xy3 + 2. Ses données sont trois monômes, deux variables x et y, et les couples d'exposants (2, 1), (1, 3) et (0, 0). La figure associée représente ces trois couples et leurs maxima sur chaque axe.
1. Pour x, les exposants sont 2, 1 et 0 ; leur maximum vaut 2.
2. Pour y, les exposants sont 1, 3 et 0 ; leur maximum vaut 3.
3. On obtient donc et .
2. Pour y, les exposants sont 1, 3 et 0 ; leur maximum vaut 3.
3. On obtient donc et .
Le contrôle consiste à relire chaque monôme : aucun exposant de x ne dépasse 2 et aucun exposant de y ne dépasse 3. En revanche, le monôme xy3 a pour somme d'exposants 1 + 3 = 4, ce qui confirme que le degré total peut différer des degrés partiels.
En pratique
Pour classer des polynômes selon leur dépendance en x, on compare leurs degrés partiels en x. Le degré total est préférable si l'on veut mesurer simultanément la taille de tous les exposants d'un monôme.
Lorsqu'un polynôme est vu comme un polynôme en x dont les coefficients dépendent de y, le degré partiel en x donne sa puissance dominante en x. On choisit cette lecture dès qu'une variable joue un rôle particulier dans le calcul.
À ne pas confondre
Degré total. Le degré partiel conserve le plus grand exposant d'une variable choisie. Le degré total conserve la plus grande somme des exposants d'un même monôme. Pour 3x2y + xy3 + 2, les degrés partiels en x et y valent 2 et 3, tandis que le degré total vaut 4.
Degré d'un monôme. Il concerne un seul monôme et additionne ses exposants. Ainsi, xy3 a pour degré 4, mais son exposant en x reste 1 et son exposant en y reste 3.
Limites et pièges
Annulation après réduction. Dans x3y − x3y + x, les deux termes de plus haut exposant s'annulent. Le polynôme réduit est x : son degré partiel en x vaut 1, et non 3.
Variable absente. Pour un polynôme non nul qui ne dépend pas de y, tous les exposants de y valent 0 ; son degré partiel en y vaut donc 0. Il ne faut pas le déclarer inexistant.
Polynôme nul. Il ne possède aucun monôme à coefficient non nul, donc aucun maximum d'exposants. Son degré partiel n'est pas défini ; certains cadres adoptent par convention la valeur −∞, qui doit alors être annoncée.
Pour aller plus loin
Le degré total complète cette lecture variable par variable : il mesure la plus grande somme d'exposants portée par un même monôme.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres