nombre polygonal

Posez un point, puis agrandissez une figure pentagonale. Les ajouts successifs comptent 1, 4, 7 puis 10 points : chaque nouvel ajout en contient trois de plus que le précédent. Les totaux obtenus sont 1, 5, 12 et 22.

Ces totaux sont des nombres pentagonaux, donc une famille particulière de nombres polygonaux. Le nombre de côtés fixe l’écart entre deux ajouts successifs ; le rang indique combien d’ajouts ont été cumulés.

Un nombre polygonal est un nombre figuré plan représentable par des points organisés selon des polygones réguliers convexes successifs. Le nombre de côtés du polygone est noté k, avec k entier au moins égal à 3. Le rang est noté n, avec n entier positif. Le nombre k-gonal de rang n, noté P_k(n), est la somme des n premiers termes de la progression arithmétique de premier terme 1 et de raison k − 2. Il vaut :

Par convention, P_k(1) = 1 pour tout k. On parle de nombres triangulaires pour k = 3, carrés pour k = 4 et pentagonaux pour k = 5 ; pour un grand nombre de côtés, l’écriture numérique, comme « 10-gonal », évite un nom peu courant. Une famille centrée se construit autrement : des couches polygonales entourent un point central. Avec le même rang n, sa valeur standard est $C_k(n)=1+\frac{kn(n-1)}{2}C\_k(n)=1+\backslash frac\{k\; n(n-1)\}\{2\}$. Fermat a conjecturé, puis Cauchy a démontré, que tout entier positif est une somme d’au plus k nombres k-gonaux.

On cherche le nombre pentagonal de rang 4. Les données sont le nombre de côtés k = 5, le rang n = 4, le premier ajout égal à 1 et la raison k − 2 = 3. La figure associée inventorie les ajouts sans prétendre reproduire leur disposition pentagonale.

1. Les quatre ajouts sont 1, 4, 7 et 10.
2. Leur somme vaut 1 + 4 + 7 + 10 = 22.
3. La formule donne P₅(4) = 4 × ((5 − 2) × 4 − (5 − 4)) ÷ 2 = 4 × 11 ÷ 2 = 22.

Le nombre pentagonal de rang 4 est donc 22. Un contrôle indépendant consiste à calculer le rang précédent : P₅(3) = 12, puis 22 − 12 = 10, exactement le quatrième ajout.

Pour obtenir rapidement le nombre de points au rang connu, on remplace k et n dans la formule générale. La somme des ajouts reste préférable lorsqu’il faut montrer la construction ou contrôler le résultat.

Pour reconnaître la famille à partir d’une suite, on examine les écarts entre termes consécutifs. Si ces écarts augmentent toujours de k − 2, la suite peut être celle des nombres k-gonaux, sous réserve de vérifier son premier terme et son indexation.

Devant un dessin en couches autour d’un point central, on emploie la formule centrée. Si la figure grandit depuis un sommet par prolongement de côtés adjacents, on emploie la formule polygonale ordinaire.

Nombre polygonal centré. Il possède un point central entouré de couches complètes. Au rang 4, la famille pentagonale ordinaire donne P₅(4) = 22, tandis que la famille pentagonale centrée donne C₅(4) = 31 : le dessin et la formule tranchent.

Polygone régulier. Un polygone est une figure géométrique continue faite de côtés et de sommets ; un nombre polygonal est un entier qui compte des points dans une construction. Un pentagone reste un pentagone quelle que soit sa taille, alors que 1, 5, 12 et 22 sont des nombres pentagonaux distincts.

Le paramètre k commence à 3. Un polygone régulier convexe possède au moins trois côtés. Substituer k = 2 dans l’expression algébrique produit n, mais ne définit pas une famille polygonale au sens géométrique retenu ici.

Le premier rang vaut 1 par convention. Toutes les familles commencent alors par P_k(1) = 1. Une liste qui ajoute un rang 0 égal à 0 utilise une extension commode, mais son décalage doit être annoncé avant toute comparaison.

Les suites ordinaires et centrées ne coïncident pas pour les triangles ou les carrés. Avec les formules standard, le rang 2 donne respectivement 3 et 4 pour k = 3, puis 4 et 5 pour k = 4. Seul leur premier terme commun vaut 1 ; toute affirmation de coïncidence exige donc une autre convention explicitement définie.

Le nom ne change pas la formule. Pour un nombre élevé de côtés, « 10-gonal » est préférable à « décagonal » dans cette nomenclature. Il faut conserver la même valeur k dans les ajouts, la formule et le dessin.

Le nombre figuré replace les familles polygonales dans l’ensemble des entiers représentés par des configurations géométriques.

Le nombre triangulaire étudie le cas k = 3 et permet de retrouver une formule familière à partir de la formule générale.

Le nombre carré présente le cas k = 4, pour lequel la formule polygonale se réduit au carré du rang.