Nombres pentagonaux

Imaginez des points ajoutés par couches successives. Le premier effectif vaut 1, puis les suivants valent 5, 12 et 22. Ce sont les premiers nombres pentagonaux. D’une étape à l’autre, on ajoute 4 points, puis 7, puis 10 : l’ajout augmente donc de 3 chaque fois. Cette croissance régulière explique pourquoi une formule suffit pour trouver directement le nombre de points à n’importe quel rang. Le tableau linéaire associé aligne ces quatre effectifs et colore les nouveaux points de chaque étape.

Un nombre pentagonal est un nombre figuré : il compte les points d’un arrangement pentagonal construit par étapes. Pour un rang entier positif noté n, le nombre pentagonal correspondant est noté P_n. Il est défini par la formule suivante :

Cette définition donne P₁ = 1, P₂ = 5, P₃ = 12 et P₄ = 22. Deux termes consécutifs diffèrent de 3n + 1 lorsque l’on passe du rang n au rang n + 1 ; les ajouts successifs sont donc 4, 7, 10, puis 13. Les nombres pentagonaux généralisés s’obtiennent en appliquant la même expression à tout indice entier, positif, nul ou négatif. Pour les indices 1, −1, 2, −2, 3 et −3, on obtient respectivement 1, 2, 5, 7, 12 et 15. Ces valeurs interviennent dans l’identité d’Euler sur les produits infinis et dans une récurrence qui calcule le nombre de partitions d’un entier.

On veut déterminer le quatrième nombre pentagonal. Les données sont le rang n = 4, les constantes 3, 1 et 2 de la formule, ainsi que les trois valeurs précédentes 1, 5 et 12.

1. Remplacer le rang n par 4 : $P_4=\frac{4(3\times 4-1)}{2}P\_4=\backslash frac\{4(3\backslash times4-1)\}\{2\}$.

2. Calculer la parenthèse : 3 × 4 − 1 = 11. Le numérateur vaut alors 4 × 11 = 44.

3. Diviser par 2 : P₄ = 44 ÷ 2 = 22. Le quatrième arrangement contient donc 22 points.

Le contrôle se refait avec les écarts. De 1 à 5, on ajoute 4 ; de 5 à 12, on ajoute 7. L’ajout suivant augmente encore de 3 et vaut 10. On retrouve bien 12 + 10 = 22.

Pour trouver directement un terme éloigné, on utilise la formule du rang plutôt que de dessiner ou d’additionner toutes les couches précédentes. Le rang observé détermine immédiatement le nombre de points.

Pour prolonger une liste déjà commencée, la différence entre deux termes est souvent plus pratique. Après les écarts 4, 7 et 10, l’écart suivant vaut 13, car les écarts augmentent toujours de 3. On passe ainsi de 22 à 35.

Pour calculer récursivement des partitions d’entiers, ce ne sont pas seulement les nombres pentagonaux d’indice positif qui conviennent. Il faut employer les nombres pentagonaux généralisés, issus aussi des indices négatifs, dans l’ordre 1, 2, 5, 7, 12, 15, etc.

Nombres pentagonaux et nombres polygonaux. Les nombres polygonaux forment la famille générale liée à différents polygones. Un nombre pentagonal appartient à cette famille, mais son calcul utilise précisément le facteur 3n − 1. Au rang 4, la valeur 22 identifie le cas pentagonal.

Nombre pentagonal et pentagone géométrique. Un pentagone est une figure à cinq côtés ; un nombre pentagonal est un entier qui compte des points. Ainsi, 22 n’est ni une longueur ni un nombre de côtés : c’est l’effectif de points au quatrième rang.

Indice nul. La suite ordinaire donnée ici commence au rang 1. Si une convention l’étend aux entiers naturels comprenant 0, la formule donne P₀ = 0. Il faut donc vérifier le point de départ avant de numéroter les termes.

Indices négatifs. Un indice négatif ne désigne pas un arrangement ayant un nombre négatif de points. Il produit une valeur positive de la suite généralisée : par exemple, l’indice −1 donne 2 et l’indice −2 donne 7.

Ordre des valeurs généralisées. Lire seulement les indices 1, 2, 3, etc., ferait disparaître 2, 7 et 15. Pour l’usage lié aux partitions, il faut prendre alternativement les indices positifs et négatifs : 1, −1, 2, −2, 3, −3, etc.

Récurrence des partitions. Les nombres généralisés fournissent les décalages de la récurrence, mais ils ne sont pas eux-mêmes les nombres de partitions. Confondre les deux suites donne des résultats faux dès les premiers entiers.

La fiche Nombres polygonaux replace le cas pentagonal dans la famille des suites construites à partir d’arrangements polygonaux.

La fiche identité d’Euler prolonge le rôle des nombres pentagonaux généralisés dans les produits infinis et les partitions.