AnalyseFormule · Glossaire
identité d'Euler
L'identité d'Euler est l'égalité remarquable : e^(iπ) + 1 = 0. Cette formule établit une relation profonde entre cinq constantes mathématiques fondamentales : le nombre e (base de l'exponentielle, lié à l'analyse), le nombre imaginaire i (unité de l'algèbre des complexes), le nombre π (fondamental en géométrie), le nombre 1 (élément neutre de la multiplication) et le nombre 0 (élément neutre de l'addition). Elle met en jeu les trois opérations fondamentales que sont l'addition, la multiplication et l'exponentiation. C'est un cas particulier de la formule d'Euler pour les nombres complexes : e^(iθ) = cos θ + i sin θ, obtenu pour θ = π.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les cinq constantes et les trois opérations réunies dans l’identité.
- Déduire e^(iπ)+1=0 de la formule d’Euler en quatre étapes exactes.
- Interpréter le calcul comme un demi-tour sur le cercle unité.
- Éviter les confusions de radians, d’arrondi et de portée de l’exposant.
En clair
Sur un cercle de rayon 1, partez du point de coordonnées (1, 0) et effectuez un demi-tour. Vous arrivez en (−1, 0) : la hauteur vaut 0 et l’abscisse vaut −1. La formule d’Euler traduit ce déplacement avec l’exponentielle complexe. Pour l’angle π, elle donne −1 ; l’ajout de 1 ramène alors exactement à 0. L’identité d’Euler réunit ainsi, dans une seule égalité, les nombres e, i, π, 1 et 0.
Définition
L’identité d’Euler est une égalité exacte entre cinq constantes fondamentales. Le nombre e est la base de l’exponentielle ; le nombre i est l’unité imaginaire, dont le carré vaut −1 ; le nombre π représente ici un angle de π radians. Les nombres 1 et 0 sont respectivement les éléments neutres de la multiplication et de l’addition.
Cette identité est le cas particulier obtenu quand l’angle réel θ vaut π dans la formule d’Euler . Comme le cosinus de π vaut −1 et son sinus vaut 0, l’exponentielle complexe vaut −1. Une addition par 1 produit alors 0. L’égalité fait donc intervenir l’addition, la multiplication dans le produit iπ et l’exponentiation.
Le principe
Soit θ un angle réel mesuré en radians. La formule d’Euler associe à cet angle le nombre complexe dont la partie réelle est le cosinus de θ et la partie imaginaire le sinus de θ :
Pour θ = π, le cosinus vaut −1 et le sinus vaut 0. Il en résulte , puis : c’est l’identité d’Euler.
Quand l'utiliser
L’identité utilise l’exponentielle prolongée aux nombres complexes et l’unité imaginaire i, dont le carré vaut −1. L’angle doit être exprimé en radians : la valeur π désigne exactement un demi-tour. Ces données permettent d’évaluer le cosinus et le sinus, puis l’exponentielle complexe.
Pour obtenir l’identité, θ doit être congru à π modulo 2π ; θ = π est le choix canonique présenté ici. Avec θ = 0, par exemple, la formule d’Euler donne e0 = 1 et non −1 ; l’ajout de 1 donne 2, pas 0.
Écrire 180 à la place de π sans conversion ne convient pas : 180 est alors lu comme un nombre de radians. Pour partir de 180°, il faut d’abord le convertir en π radians.
Un exemple, pas à pas
Suivons le point du cercle unité qui part de (1, 0) et tourne d’un angle θ. Les données sont θ = π radians, cos π = −1 et sin π = 0. Le but est de vérifier l’égalité annoncée sans approximation.
1. On part de la formule générale : .
2. On remplace l’angle θ par π : .
3. On remplace le cosinus et le sinus par leurs valeurs : .
4. On ajoute 1 aux deux membres : .
Le cercle unité fournit un contrôle visuel refaisable : après un demi-tour, le point a pour coordonnées (−1, 0). Sa partie réelle est donc −1 et sa partie imaginaire est nulle, exactement comme dans le calcul.
En pratique
Pour vérifier l’identité, le cercle unité est préférable à une approximation décimale : le demi-tour mène exactement au point (−1, 0), sans erreur d’arrondi.
Dans un calcul complexe contenant eiπ, remplacez directement ce terme par −1. Cette substitution vaut pour tout angle congru à π modulo 2π, notamment π ; pour les autres angles, il faut conserver la formule générale avec cosinus et sinus.
Pour contrôler la notation, repérez l’exposant iπ avant d’effectuer l’addition. Si le 1 se trouve dans l’exposant, l’expression est différente et l’identité d’Euler ne s’applique pas.
À ne pas confondre
Identité d’Euler et formule d’Euler. La formule d’Euler dépend d’un angle réel θ. L’identité d’Euler fixe cet angle à π et ajoute 1. Le test est donc simple : si θ reste variable, il s’agit de la formule générale ; si θ vaut π et que le membre de gauche est augmenté de 1, on obtient l’identité.
Limites et pièges
Degrés et radians. Le cas charnière est le demi-tour : 180° correspond à π radians. Écrire ei·180 ne reproduit pas l’identité, car 180 est alors interprété en radians. Convertissez d’abord l’angle.
Égalité exacte et calcul approché. Une calculatrice peut afficher une minuscule partie imaginaire résiduelle à cause des arrondis. Ce résidu numérique n’invalide pas l’égalité : utilisez les valeurs exactes cos π = −1 et sin π = 0.
Portée de l’exposant. Dans eiπ + 1, le nombre 1 est ajouté après l’exponentiation. Une écriture telle que eiπ+1 place au contraire 1 dans l’exposant et produit une autre expression. Vérifiez les parenthèses ou la mise en exposant avant de simplifier.
Pour aller plus loin
fonction exponentielle — Situez le nombre e et l’exponentielle réelle avant leur prolongement aux nombres complexes.
nombre i — Approfondissez l’unité imaginaire qui transforme l’exponentielle en rotation dans le plan complexe.
cercle trigonométrique — Retrouvez géométriquement les valeurs de cos π et sin π utilisées dans le calcul.
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