AlgèbreNotion · Glossaire
nombre i
Par convention, le symbole i désigne le nombre imaginaire vérifiant i² = −1 ; l’écriture √−1 désigne alors i. Il ne figure pas dans l'ensemble des réels et constitue l'un des fondements de la théorie des nombres complexes. Ces derniers ont émergé au 16e siècle dans le cadre de la résolution des équations algébriques du troisième degré, notamment grâce aux travaux de Cardan et Bombelli. La notation i a été introduite par Euler, en remplacement de l'ancienne écriture √−1.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir i par la relation i² = −1 et le situer parmi les nombres complexes.
- Calculer i(2 + i) jusqu'à −1 + 2i et vérifier le résultat par une seconde multiplication.
- Interpréter la multiplication par i comme un quart de tour dans le plan complexe.
- Distinguer i, les imaginaires purs et les nombres complexes quelconques.
- Éviter l'oubli de −i parmi les solutions et reconnaître le cycle des puissances de i.
En clair
Sur la droite des nombres réels, aucun nombre élevé au carré ne donne −1 : le carré de tout nombre réel est positif ou nul. Les mathématiciens ont donc introduit un nouveau nombre, noté i, dont le carré vaut −1.
Ce nombre agrandit le terrain de calcul. En associant une partie réelle à un multiple de i, on obtient par exemple 2 + i. Multiplier ce nombre par i transforme 2 + i en −1 + 2i : la règle i² = −1 suffit pour effectuer le calcul.
Définition
L'unité imaginaire i est le nombre choisi pour vérifier i² = −1. Dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation x² = −1 possède deux solutions : i et son opposé −i. L'écriture √−1 est souvent employée pour i, mais l'égalité i² = −1 est la définition qui évite toute ambiguïté sur le signe.
Tout nombre complexe s'écrit a + bi, où a et b sont des nombres réels. Le nombre a est sa partie réelle et le nombre b est le coefficient de sa partie imaginaire. Cette écriture est unique. Lorsque b = 0, le nombre est réel. Lorsque a = 0, sa partie réelle est nulle et on le qualifie couramment d'imaginaire pur ; certaines conventions excluent alors le cas b = 0. Le nombre i correspond à a = 0 et b = 1.
Les calculs suivent les règles algébriques usuelles, puis chaque occurrence de i² est remplacée par −1. Si z désigne le nombre complexe 2 + i, alors . Avec l'axe réel orienté vers la droite et l'axe imaginaire vers le haut, ce produit correspond à un quart de tour autour de l'origine, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Un exemple, pas à pas
Calculons le produit de z par i. Les données sont le nombre complexe z = 2 + i, la partie réelle 2, le coefficient imaginaire 1 et la relation i² = −1.
1. Distribuons i dans la somme : .
2. Remplaçons i² par −1 : . La figure représente les deux nombres par les coordonnées (2 ; 1) et (−1 ; 2), ce qui rend visible le quart de tour.
3. Le résultat est iz = −1 + 2i. Sa partie réelle vaut −1 et le coefficient de sa partie imaginaire vaut 2.
4. Contrôlons en multipliant encore par i : . Deux multiplications par i produisent donc un demi-tour, conformément à i²z = −z.
En pratique
Pour résoudre x² + 1 = 0, les nombres réels ne fournissent aucune solution. Le passage aux nombres complexes donne x = i ou x = −i ; le critère est précisément l'apparition d'un carré égal à −1.
Pour simplifier un calcul contenant i, développez l'expression puis remplacez i² par −1. Une écriture a + bi est préférable à une suite de puissances de i, car elle sépare immédiatement la partie réelle et la partie imaginaire.
Pour interpréter une multiplication par i, le calcul algébrique donne les nouvelles coordonnées et le plan complexe montre le quart de tour. Le dessin est utile pour l'orientation ; l'égalité algébrique reste le contrôle exact.
À ne pas confondre
Unité imaginaire et nombre imaginaire pur. L'unité imaginaire est le nombre précis i. Un nombre imaginaire pur a la forme bi avec b réel : 2i en est un, mais 2i n'est pas égal à i puisque leurs coefficients imaginaires diffèrent.
Nombre i et nombre complexe quelconque. Le nombre i est un nombre complexe particulier, de partie réelle nulle et de coefficient imaginaire égal à 1. Le nombre 2 + i est complexe sans être imaginaire pur, car sa partie réelle vaut 2.
Racine carrée réelle et solution complexe. La fonction racine carrée réelle n'accepte pas −1 comme entrée. Dans les nombres complexes, l'équation x² = −1 est en revanche résoluble et possède les deux solutions i et −i.
Limites et pièges
Deux solutions, pas une seule. Écrire que i est « la racine carrée de −1 » fixe une convention de notation. L'équation x² = −1 possède aussi la solution −i, car (−i)² = −1. Pour résoudre une équation, il faut donc conserver les deux signes.
Cycle des puissances. Les puissances de i se répètent tous les quatre exposants : i0 = 1, i1 = i, i2 = −1 et i3 = −i, puis i4 = 1. Une suite de signes qui ne revient pas à 1 au quatrième rang révèle une erreur de calcul.
Pas de position sur la droite réelle. Dire que i n'est pas réel ne signifie pas qu'il se trouve entre deux réels. Une comparaison qui déclarerait i positif n'appartient pas à l'ordre usuel des nombres réels ; il faut employer ses coordonnées dans le plan complexe.
Repères historiques distincts. La source rattache l'émergence des nombres complexes au XVIe siècle et aux travaux de Cardan et Bombelli, puis attribue à Euler l'introduction de la notation i. Ces indications ne décrivent pas un événement unique ; il faut distinguer l'apparition des calculs et le choix ultérieur du symbole.
Pour aller plus loin
Des nombres pas si complexes — Prolonger l'unité imaginaire vers les différentes écritures et les usages des nombres complexes.
Argument d'un nombre complexe — Relier l'écriture algébrique d'un complexe à sa direction dans le plan.
Euler Leonhard — Situer le mathématicien auquel la source attribue l'introduction de la notation i.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres