nombre hexagonal

Disposez d’abord un point, puis agrandissez la figure par étapes. Pour passer d’un nombre hexagonal au suivant, le nombre de nouveaux points augmente toujours de quatre : on ajoute 5 points, puis 9, puis 13. Ces rangées comptent les points ajoutés lors de l’agrandissement de la figure hexagonale, sans reproduire leur disposition. Les totaux deviennent ainsi 1, 6, 15 et 28.

Cette croissance régulière traduit la construction par hexagones successifs. Le rang indique l’étape atteinte, tandis que la valeur donne le nombre total de points de la figure.

Un nombre hexagonal est un nombre figuré plan : il compte des points disposés selon une construction formée d’hexagones réguliers successifs. Le rang, noté n, est un entier positif. Le nombre hexagonal de rang n, noté H_n, vaut :

La même valeur s’obtient en additionnant les n premiers termes de la progression arithmétique 1, 5, 9, 13, …, dont la raison est 4. Les quatre premières valeurs sont donc H₁ = 1, H₂ = 6, H₃ = 15 et H₄ = 28. Cette famille ne doit pas être confondue avec celle des nombres hexagonaux centrés. Pour n couches ajoutées autour d’un point central, leur nombre de points vaut $1+3n(n+1)1+3n(n+1)$, ce qui donne 1, 7, 19 et 37 lorsque le point seul correspond à zéro couche ajoutée.

On cherche le nombre de points de la figure hexagonale de rang 4. Les données sont le rang n = 4, le premier ajout égal à 1 et la raison 4 de la progression des ajouts. La figure associée rend visibles les quatre apports successifs.

1. Les quatre ajouts sont 1, 5, 9 et 13.
2. Leur somme vaut 1 + 5 + 9 + 13 = 28.
3. La formule donne aussi H₄ = 4 × (2 × 4 − 1) = 4 × 7 = 28.

Le nombre hexagonal de rang 4 contient donc 28 points. Le contrôle est refaisable par différence : 28 − 15 = 13, soit exactement le quatrième terme de la progression des ajouts.

Pour calculer directement la taille d’une construction hexagonale de rang connu, on remplace le rang dans n(2n − 1). Une addition étape par étape reste préférable si l’on veut suivre combien de points chaque agrandissement apporte.

Dans un problème d’emballage de solides cylindriques, le dessin indique la famille à employer. Si les objets forment des couches complètes autour d’un objet central, il faut compter avec les nombres hexagonaux centrés, et non avec les nombres hexagonaux ordinaires.

Nombre hexagonal centré. Son critère distinctif est la présence d’un point central entouré de couches concentriques complètes. Avec une couche ajoutée, on compte 7 points, alors que le nombre hexagonal ordinaire de rang 2 en compte 6. Les suites commencent respectivement par 1, 7, 19, 37 et par 1, 6, 15, 28.

Le rang commence à 1. Pour les nombres hexagonaux ordinaires, la liste 1, 6, 15, 28 correspond aux rangs 1, 2, 3 et 4. Employer le rang 0 change la convention et doit être annoncé.

Couche et rang ne sont pas synonymes. Dans la formule centrée 1 + 3n(n + 1), n compte les couches ajoutées autour du centre. Le point central seul correspond donc à n = 0, puis une couche donne 7 points.

L’identité cubique exige une indexation cohérente. Si le k-ième nombre centré est noté C_k = 3k(k − 1) + 1, alors C_k correspond à k − 1 couches ajoutées autour du centre. La somme des n premiers termes vérifie ${\sum }_{k=1}^n{C}_k=n^3\backslash sum\_\{k=1\}^\{n\}\; C\_k=n^3$. Mélanger cette indexation avec le nombre de couches décale tous les termes.

L’étude peut se poursuivre par les équations diophantiennes : elles servent à rechercher les entiers qui appartiennent simultanément à plusieurs familles de nombres figurés. Pour les nombres hexagonaux centrés, l’identité reliant la somme des premiers termes à un cube invite aussi à comparer une construction géométrique et une somme algébrique.