théorème des quatre carrés de Lagrange

Prenons 23 objets et cherchons à les répartir en quatre groupes carrés. Deux carrés de 3 sur 3 rassemblent 9 objets chacun, un carré de 2 sur 2 en rassemble 4 et un carré isolé en rassemble 1. On obtient 23 = 9 + 9 + 4 + 1.

Le théorème de Lagrange garantit qu'une répartition numérique de ce genre existe pour chaque entier positif. Certains carrés peuvent avoir un côté nul et contribuer 0 à la somme.

Le théorème des quatre carrés de Lagrange est un résultat d'arithmétique sur les entiers strictement positifs. Pour tout entier positif noté n, il affirme l'existence de quatre entiers non négatifs notés a, b, c et d tels que :

Les quatre carrés ne sont donc pas nécessairement positifs : une ou plusieurs valeurs parmi a, b, c et d peuvent être nulles. L'énoncé, conjecturé par Bachet puis par Fermat, a été démontré par Lagrange en 1770 grâce à l'identité des quatre carrés d'Euler. Selon les traditions, il est aussi nommé conjecture de Bachet, théorème de Bachet-Lagrange, théorème de Fermat-Lagrange ou théorème d'Euler-Lagrange. L'attribution à Waring renvoie à un cadre plus large. Plus tard, Jacobi a obtenu une formule exacte, liée aux diviseurs de n, pour compter les décompositions.

Si n est un entier strictement positif, alors il existe quatre entiers non négatifs a, b, c et d dont les carrés ont pour somme n. Autrement dit : $n=a^2+b^2+c^2+d^{2}n=a^\{2\}+b^\{2\}+c^\{2\}+d^\{2\}$. Le résultat garantit l'existence d'au moins une décomposition ; il ne dit ni qu'elle est unique, ni comment la trouver directement.

Le nombre à décomposer doit être un entier strictement positif. Les quatre nombres choisis sont des entiers, et leurs carrés sont additionnés sans coefficient. Ils peuvent être pris non négatifs, car changer le signe d'un entier ne change pas son carré. La conclusion obtenue est une existence, pas une décomposition imposée.

Le théorème ne s'applique pas à −1 : toute somme de carrés d'entiers est non négative, donc aucune égalité avec −1 n'est possible. Le nombre 0 n'appartient pas non plus au domaine annoncé, même si 0 = 0² + 0² + 0² + 0² reste une égalité vraie.

Décomposons l'entier 23. Les données sont le nombre 23 et quatre carrés d'entiers non négatifs à trouver. Comme 5² dépasse 23, les bases utiles sont 0, 1, 2, 3 ou 4.

1. Prenons d'abord deux carrés de 3 : 3² + 3² = 9 + 9 = 18.

2. Il reste 23 − 18 = 5 à former avec deux carrés.

3. Or 5 = 2² + 1² = 4 + 1. Les quatre carrés sont donc représentés par deux grilles de 9 cases, une grille de 4 cases et une case isolée.

4. En réunissant les résultats, $23=3^2+3^2+2^2+1^2=9+9+4+123=3^\{2\}+3^\{2\}+2^\{2\}+1^\{2\}=9+9+4+1$. Le contrôle direct donne 9 + 9 + 4 + 1 = 23 : les quatre bases sont entières et non négatives.

Pour certifier qu'un entier donné est bien une somme de quatre carrés, il suffit d'exhiber quatre bases et de refaire l'addition. Pour 23, la liste 3, 3, 2, 1 fournit un certificat immédiatement vérifiable.

Pour prouver que tous les entiers positifs sont représentables, vérifier des exemples ne suffit pas. L'identité des quatre carrés d'Euler devient pertinente, car elle conserve la forme « somme de quatre carrés » lors d'une multiplication.

Pour compter toutes les décompositions d'un entier plutôt que seulement en trouver une, le théorème d'existence ne donne pas la réponse. Le résultat de Jacobi relie ce dénombrement aux diviseurs de l'entier.

L'identité des quatre carrés d'Euler porte sur un produit : elle transforme le produit de deux sommes de quatre carrés en une nouvelle somme de quatre carrés. Le théorème de Lagrange porte sur l'existence d'une telle somme pour chaque entier positif.

Le problème de Waring demande, dans un cadre plus large, combien de puissances d'un exposant fixé suffisent pour représenter les entiers. Ici, l'exposant est précisément 2 et la borne garantie est quatre termes.

Une conjecture et un théorème n'ont pas le même statut. La proposition fut une conjecture chez Bachet puis Fermat ; depuis la démonstration de Lagrange en 1770, elle constitue un théorème.

« Quatre carrés » signifie au plus quatre carrés non nuls. Pour 9, l'écriture 9 = 3² + 0² + 0² + 0² respecte l'énoncé. Exiger quatre contributions positives changerait le problème.

L'existence n'implique pas l'unicité. Ainsi, 50 = 7² + 1² + 0² + 0², mais aussi 50 = 5² + 5² + 0² + 0². Il faut préciser si l'ordre et les signes distinguent les décompositions lorsqu'on veut les compter.

Le théorème n'est pas un algorithme. Savoir qu'une décomposition existe ne fournit pas automatiquement les quatre bases. Pour un entier donné, il faut encore effectuer une recherche ou employer une méthode dédiée, puis vérifier la somme.

Le seuil du domaine est 1. L'énoncé vise les entiers n ≥ 1. Le cas n = 0 possède bien la décomposition entièrement nulle, tandis qu'un entier négatif ne peut jamais être une somme de carrés d'entiers.

L'identité des quatre carrés d'Euler montre pourquoi la forme résiste à la multiplication, propriété utilisée dans la démonstration historique.

Le problème de Waring replace les quatre carrés dans l'étude générale des sommes de puissances d'exposant fixé.

L'article Le problème de Waring : deux cent cinquante ans de recherches ! apporte le contexte historique plus large auquel l'attribution à Waring fait référence.