ArithmétiqueNotion · Glossaire
Waring Edward
Edward Waring (1736-1798) est un mathématicien anglais qui a formulé en 1770 la conjecture devenue le problème de Waring. Pour tout exposant n ≥ 2, ce problème demande s'il existe une borne r telle que tout entier naturel soit une somme d'au plus r puissances n-ièmes d'entiers naturels. Pour n = 2, le théorème des quatre carrés de Lagrange fournit la borne 4, tandis que Hilbert a prouvé l'existence d'une borne pour tout n en 1909.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier Edward Waring et son apport.
- Comprendre le rôle de l'exposant n et de la borne r.
- Vérifier une représentation par quatre carrés et distinguer existence et calcul d'une borne.
En clair
Prenez un entier comme 23 et cherchez à le fabriquer avec des carrés d'entiers : 23 = 32 + 32 + 22 + 12. Le problème de Waring demande si cette construction est toujours possible pour les puissances d'un exposant fixé.
Pour chaque exposant n ≥ 2, Waring a conjecturé qu'un nombre r existe : aucun entier ne demande plus de r puissances n-ièmes. Hilbert en a démontré l'existence en 1909. Ce nombre r dépend de l'exposant. Pour les carrés, Lagrange a montré que quatre termes suffisent toujours.
Définition
Le problème de Waring porte sur la représentation des entiers naturels comme sommes de puissances n-ièmes d'entiers naturels. L'exposant n est un entier naturel au moins égal à 2, et r désigne une borne sur le nombre de termes nécessaires. Pour chaque valeur fixée de n, la question est de savoir s'il existe un r tel que tout entier naturel soit une somme d'au plus r nombres élevés à la puissance n.
La formulation autorise moins de r termes : r est une borne maximale, non un nombre imposé de termes. Le cas n = 2 est le théorème des quatre carrés de Lagrange : tout entier naturel est somme d'au plus quatre carrés d'entiers naturels. Ainsi, 23 s'écrit 32 + 32 + 22 + 12.
Hilbert a prouvé en 1909 l'existence d'un tel r pour tout exposant n, mais sa preuve ne donne pas de méthode explicite pour calculer cette borne. Les valeurs précises ont été déterminées ultérieurement par d'autres mathématiciens.
Un exemple, pas à pas
On veut représenter 23 comme une somme de carrés d'entiers naturels. Les données sont l'entier 23 et l'exposant n = 2.
On choisit d'abord le carré 32 = 9. Il reste 23 − 9 = 14.
On choisit un second carré 32 = 9. Il reste 14 − 9 = 5.
On retire ensuite 22 = 4. Il reste 5 − 4 = 1.
Le dernier reste est 12 = 1, donc il devient nul.
On choisit un second carré 32 = 9. Il reste 14 − 9 = 5.
On retire ensuite 22 = 4. Il reste 5 − 4 = 1.
Le dernier reste est 12 = 1, donc il devient nul.
Le résultat est 23 = 32 + 32 + 22 + 12. Il utilise quatre carrés, ce qui respecte la borne de Lagrange. Le contrôle consiste à additionner les valeurs : 9 + 9 + 4 + 1 = 23.
En pratique
Pour tester une représentation, on fixe d'abord l'exposant, puis on cherche des puissances d'entiers dont la somme atteint le nombre visé. Chaque terme est vérifié séparément avant l'addition finale.
Avec les carrés, la borne de quatre termes donne un repère simple : une décomposition de 23 en quatre carrés, comme celle présentée ici, suffit à illustrer le mécanisme. Pour un autre exposant, la borne et les décompositions à rechercher peuvent changer.
Une recherche par essais peut trouver une écriture pour un nombre donné, mais elle ne prouve pas qu'une borne valable pour tous les entiers existe. Cette question générale relève du problème de Waring.
À ne pas confondre
Le problème de Waring ne se confond pas avec le théorème des quatre carrés. Le premier demande une borne pour chaque exposant n ≥ 2 ; le second est le cas particulier n = 2, résolu par Lagrange. Le critère qui tranche est donc l'exposant fixé dans la puissance.
Il ne faut pas non plus confondre une décomposition particulière et un théorème général. Vérifier que 23 = 32 + 32 + 22 + 12 établit un exemple, mais pas que tous les entiers admettent une représentation avec au plus quatre carrés. Cette dernière affirmation est précisément le résultat de Lagrange.
Limites et pièges
La borne r dépend de l'exposant n. Il est donc incorrect de transporter automatiquement la valeur quatre du cas des carrés à des cubes ou à des puissances plus élevées. Il faut identifier n avant d'interpréter une borne.
« Au plus r puissances » signifie que certains entiers peuvent utiliser moins de r termes. Dans l'exemple, 23 utilise exactement quatre carrés dans la décomposition choisie, mais d'autres entiers peuvent être un carré unique ou une somme de deux ou trois carrés.
Enfin, le résultat de Hilbert en 1909 établit l'existence de r pour chaque n, sans fournir de méthode explicite de calcul. Une preuve d'existence et une valeur effectivement calculée ne sont pas le même résultat.
Pour aller plus loin
Le glossaire consacré au problème de Waring permet de poursuivre avec l'énoncé mathématique lui-même et les bornes associées aux sommes de puissances. Le lecteur y gagne un prolongement centré sur la notion, distinct de la biographie d'Edward Waring.
Pour une perspective historique plus large, l'article Le problème de Waring : deux cent cinquante ans de recherches ! replace les résultats successifs dans l'histoire des recherches. Il apporte le contexte que cette fiche biographique laisse volontairement en arrière-plan.
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