problème de Waring

Prenons les carrés 1, 4, 9, 16… et essayons d’additionner quelques-uns d’entre eux pour obtenir n’importe quel entier positif. Par exemple, 7 s’écrit comme 4 + 1 + 1 + 1, donc comme une somme de quatre carrés.

Le problème de Waring demande si, pour chaque puissance choisie, un nombre maximal de termes suffit toujours. La réponse est oui. Pour les carrés, quatre termes suffisent, même si beaucoup d’entiers en demandent moins.

On fixe un entier positif appelé exposant, noté n. Le problème de Waring cherche alors un entier k(n), dépendant seulement de cet exposant, tel que tout entier positif N soit une somme d’au plus k(n) puissances n-ièmes d’entiers positifs. Le nombre de termes peut varier avec N, mais la borne k(n) reste la même pour tous les entiers représentés.

Si r désigne le nombre de termes employés et si a₁, …, a_r désignent leurs bases positives, l’énoncé s’écrit :Hilbert a prouvé en 1909 qu’une telle borne existe pour chaque exposant n. Cette preuve d’existence ne donne pas, à elle seule, la plus petite valeur possible de k(n).

Le cas n = 2 est le théorème des quatre carrés de Lagrange : k(2) = 4. Les valeurs citées pour les exposants suivants sont k(3) = 9, k(4) = 19 et k(5) = 37. Leur détermination exacte constitue une question plus fine que l’existence d’une borne.

Données. L’exposant vaut n = 2 et l’entier à représenter est 7. Les carrés positifs qui ne dépassent pas 7 sont 1² = 1 et 2² = 4.

1. Avec un seul carré, on obtient 1 ou 4, jamais 7.

2. Avec deux carrés, les sommes possibles sont 2, 5 ou 8. Avec trois carrés, elles sont 3, 6, 9 ou 12. Ainsi, aucun choix d’au plus trois carrés positifs ne donne 7.

3. On choisit maintenant un carré égal à 4 et trois carrés égaux à 1. Leur somme vaut 4 + 1 + 1 + 1.

Le résultat est bien l’entier 7, écrit avec quatre carrés. Le contrôle consiste à recalculer séparément 2² = 4, puis à compter les trois termes 1² = 1. Cet exemple montre aussi que la borne quatre est nécessaire pour au moins un entier. La représentation regroupe un carré de quatre unités et trois carrés d’une unité.

Pour représenter un entier particulier, on cherche directement une somme adaptée. Pour 7 et les carrés, l’essai des seules valeurs 1 et 4 conduit à 4 + 1 + 1 + 1. Cette recherche locale suffit si l’objectif porte sur un seul entier.

Pour obtenir une garantie valable pour tous les entiers positifs, une collection d’exemples ne suffit plus. On utilise alors le résultat général correspondant à l’exposant choisi : pour n = 2, le théorème des quatre carrés assure que quatre termes au plus conviennent toujours.

Pour étudier k(n), il faut séparer deux tâches. La preuve de Hilbert garantit l’existence d’une borne pour chaque n, tandis que la recherche de sa valeur exacte exige de montrer à la fois qu’une borne suffit et qu’un entier oblige à l’atteindre.

Conjecture de Waring et théorème de Hilbert. La première désigne l’affirmation formulée en 1770 ; le second est la démonstration obtenue en 1909. Le critère est donc le statut historique de l’énoncé : avant la preuve, il s’agit d’une conjecture ; après la preuve, l’existence de k(n) est un théorème.

Problème de Waring et théorème des quatre carrés. Le problème porte sur tout exposant positif n, tandis que le théorème de Lagrange traite uniquement l’exposant n = 2. Une question sur les cubes relève du problème général, mais pas du théorème des quatre carrés.

« Au plus » ne signifie pas « exactement ». La borne k(n) autorise moins de termes quand cela suffit. Pour n = 2, l’entier 4 est déjà un seul carré, même si la garantie générale en autorise jusqu’à quatre. Il faut compter les termes réellement employés, sans en ajouter artificiellement.

L’exposant reste fixé. Une même représentation ne mélange pas carrés, cubes et autres puissances. Dans 7 = 2² + 1² + 1² + 1², tous les termes sont des carrés. Changer l’exposant revient à poser un autre cas du problème et peut changer k(n).

L’existence n’est pas la valeur exacte. Le résultat de Hilbert garantit un k(n), mais cette seule garantie ne détermine pas le plus petit entier convenable. Pour revendiquer une valeur exacte, il faut aussi disposer d’un cas qui interdit toute borne plus petite, comme 7 pour k(2) = 4.

Le cas charnière n = 1. Tout entier positif N est lui-même une puissance première, N = N¹. Un seul terme suffit donc dans ce cas. Cette observation respecte la condition n ≥ 1, mais ne renseigne pas sur les exposants supérieurs.

Le problème de Waring : deux cent cinquante ans de recherches ! retrace les prolongements historiques du problème au-delà de son énoncé.

théorème des quatre carrés de Lagrange approfondit le cas n = 2 utilisé dans l’exemple de 7.