conjecture d'Euler

Prenez une cinquième puissance, par exemple 144⁵. Euler pensait qu'il faudrait au moins cinq autres cinquièmes puissances pour la reconstituer par une somme. Or quatre suffisent : celles de 27, 84, 110 et 133 donnent exactement 144⁵.

Cette égalité est un contre-exemple : un seul cas contraire suffit à réfuter l'affirmation générale. La conjecture d'Euler est donc une ancienne conjecture, et non un résultat encore tenu pour vrai dans tous les cas.

La conjecture d'Euler porte sur les sommes de puissances d'entiers positifs. Pour un entier n au moins égal à 3, elle affirmait qu'une puissance n-ième ne pouvait pas être la somme de seulement n − 1 puissances n-ièmes. Autrement dit, il aurait fallu au moins n termes à gauche pour obtenir une autre puissance n-ième.

En notant y l'entier dont on veut obtenir la puissance, et x₁, …, x_n−1 les entiers positifs additionnés, l'impossibilité conjecturée s'écrit :Cette formulation généralise l'idée du théorème de Fermat sur les puissances.

La conjecture est fausse : Lander et Parkin ont donné en 1966 un contre-exemple pour n = 5, puis Noam Elkies a découvert en 1988 une méthode systématique pour le cas n = 4. Pour n strictement supérieur à 5, aucun contre-exemple n'est connu dans l'état des connaissances indiqué par la source ; ces cas demeurent ouverts.

Soit n un entier au moins égal à 3. La conjecture d'Euler affirmait que, si x₁, …, x_n−1 et y sont des entiers positifs, alors l'égalité suivante est impossible :

L'énoncé étant universel, une seule égalité qui respecte ces hypothèses suffit à le réfuter. Les contre-exemples connus pour n = 4 et n = 5 remplissent exactement ce rôle.

L'énoncé concerne un exposant entier n avec n ≥ 3. Les bases x₁, …, x_n−1 et y qui apparaissent dans l'égalité sont des entiers positifs, et les n − 1 termes du membre de gauche ont le même exposant que le terme de droite.

Pour tester l'énoncé à n fixé, il faut donc compter les termes, contrôler qu'ils sont positifs, puis vérifier l'égalité exacte des puissances. À n = 5, quatre termes suffisent pour contredire la conjecture ; à n = 4, trois termes suffisent.

Une somme de cinq cinquièmes puissances n'est pas un contre-cas pertinent, car elle emploie n termes et non n − 1. De même, une égalité approchée ne réfute rien : il faut une identité exacte entre entiers.

Vérifions le contre-exemple de Lander et Parkin pour l'exposant n = 5. Il met en jeu quatre entiers positifs à gauche, exactement n − 1, et l'entier 144 à droite.

Données :
exposant : 5 ;
bases additionnées : 27, 84, 110 et 133 ;
base du résultat : 144.

1. Calculer les quatre termes : 27⁵ = 14 348 907 ; 84⁵ = 4 182 119 424 ; 110⁵ = 16 105 100 000 ; 133⁵ = 41 615 795 893.
2. Les additionner : 14 348 907 + 4 182 119 424 + 16 105 100 000 + 41 615 795 893 = 61 917 364 224.
3. Calculer le membre de droite : 144⁵ = 61 917 364 224.

Les deux membres sont exactement égaux :Le contrôle porte aussi sur le nombre de termes : 4 = 5 − 1. L'égalité satisfait donc toutes les hypothèses et réfute la conjecture.

Pour lire une affirmation universelle, cherchez d'abord ses quantificateurs : ici, « pour tout entier n » rend chaque valeur de n pertinente. Un seul cas conforme aux hypothèses et contraire à la conclusion suffit alors à faire tomber l'énoncé entier.

Pour contrôler un contre-exemple numérique, comptez les termes avant de lancer les puissances. Si le membre de gauche n'en contient pas n − 1, l'égalité peut être intéressante, mais elle ne répond pas à la conjecture d'Euler.

Enfin, comparez des entiers exacts plutôt que des valeurs décimales arrondies. Dans le cas n = 5, le calcul séparé de chaque puissance puis de leur somme permet de refaire la vérification sans ambiguïté.

La conjecture d'Euler ne doit pas être confondue avec le théorème de Fermat. Celui-ci interdit une somme de deux puissances n-ièmes donnant une puissance n-ième pour n ≥ 3 ; Euler proposait un nombre minimal de termes qui dépend de n.

Une conjecture réfutée n'est pas un théorème démontré. L'égalité de Lander et Parkin établit que l'énoncé général est faux ; elle ne transforme pas son contraire en classification complète de toutes les sommes de puissances.

Le contre-exemple se distingue d'un simple exemple par son rôle logique. L'égalité pour n = 5 satisfait les hypothèses mais contredit la conclusion, tandis qu'une somme quelconque de puissances ne tranche pas l'énoncé.

Réfutée ne signifie pas résolue exposant par exposant. Les cas n = 4 et n = 5 possèdent des contre-exemples, mais, pour n strictement supérieur à 5, la source n'en signale aucun. Ces valeurs restent ouvertes.

Le nombre de termes est décisif. Pour n = 5, la conjecture excluait quatre termes, pas cinq. Une égalité utilisant un autre nombre de termes ne peut donc pas être présentée comme son contre-exemple sans vérifier ce seuil.

Une approximation numérique ne suffit pas. Des valeurs affichées avec trop peu de chiffres peuvent sembler égales après arrondi. Il faut revenir aux puissances entières exactes et comparer les deux membres sans perte de précision.

Un contre-exemple ne décrit pas tous les cas. L'égalité pour n = 5 détruit l'affirmation universelle, mais elle ne dit pas quelles bases produisent tous les contre-exemples possibles. La réfutation et la classification sont deux questions distinctes.

Le glossaire théorème de Fermat précise le résultat sur les puissances que la conjecture d'Euler cherchait à généraliser.

La fiche Contre-exemple explique pourquoi un seul cas bien vérifié suffit à réfuter une proposition universelle.

L'article Le problème de Waring : deux cent cinquante ans de recherches ! élargit l'étude des représentations d'entiers par des sommes de puissances.