Histoire et cultureThéorème · Glossaire
conjecture de Catalan
La conjecture de Catalan, aujourd’hui démontrée, affirme que 8 et 9 sont les seuls entiers naturels consécutifs qui soient tous deux des puissances parfaites, c’est-à-dire des puissances d’entiers naturels dont la base et l’exposant sont strictement supérieurs à 1. Elle révèle ainsi combien il est exceptionnel que deux puissances parfaites se suivent.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier les écritures 2³ et 3² aux entiers consécutifs 8 et 9.
- Lire les quatre hypothèses de l'équation x^a − y^b = 1.
- Vérifier pas à pas l'unique solution du théorème de Mihailescu.
- Distinguer le théorème de l'autre conjecture de Catalan sur les suites aliquotes.
En clair
Écrivons quelques nombres comme des puissances : 8 vaut 2³ et 9 vaut 3². Ces deux résultats se suivent sur la ligne des entiers, puisqu'il n'existe aucun entier entre 8 et 9. La conjecture de Catalan affirmait qu'aucune autre paire de puissances, avec bases et exposants supérieurs à 1, ne pouvait être formée de deux entiers consécutifs.
Ce qui fut longtemps une conjecture est devenu un théorème après sa démonstration en 2002 : le couple 8 et 9 est bien unique.
Définition
La conjecture de Catalan, formulée par Eugène Catalan en 1842, porte sur deux puissances parfaites séparées d'une unité. Une puissance parfaite considérée ici s'écrit comme une base entière élevée à un exposant entier, la base et l'exposant étant tous deux strictement supérieurs à 1.
Notons x et y les deux bases, puis a et b leurs exposants respectifs. La puissance xa doit être la plus grande des deux. Le problème consiste à résoudre, dans les entiers naturels x, y, a et b tous strictement supérieurs à 1, l'équation suivante :
La seule solution est x = 3, a = 2, y = 2 et b = 3. Elle donne 3² − 2³ = 9 − 8 = 1. Démontrée en 2002 par le mathématicien roumain Preda Mihailescu, l'affirmation porte depuis le nom de théorème de Mihailescu.
Le principe
Si x et y sont des bases entières naturelles strictement supérieures à 1, si a et b sont des exposants entiers naturels strictement supérieurs à 1, et si , alors x = 3, a = 2, y = 2 et b = 3. Autrement dit, 8 = 2³ et 9 = 3² sont les seules puissances parfaites consécutives dans ce cadre.
Quand l'utiliser
Le théorème s'applique à quatre entiers naturels : deux bases x et y, ainsi que deux exposants a et b. Chacun doit être strictement supérieur à 1. Il faut aussi orienter la différence de la plus grande puissance vers la plus petite, afin qu'elle vaille 1. Sous ces conditions, le théorème détermine l'unique quadruplet possible.
Si un exposant vaut 1, le cadre disparaît. Par exemple, 3² = 9 et 8¹ = 8 sont consécutifs, mais l'exposant 1 permettrait de fabriquer une multitude de cas de ce genre. Il faut alors traiter une simple différence entre entiers, et non appliquer le théorème de Mihailescu.
Un exemple, pas à pas
Prenons les données candidates x = 3, a = 2, y = 2 et b = 3. Les quatre valeurs sont des entiers naturels strictement supérieurs à 1. Il reste à vérifier les puissances, leur ordre et leur écart.
Étape 1. La première puissance vaut xa = 3² = 3 × 3 = 9.
Étape 2. La seconde puissance vaut yb = 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.
Étape 3. Leur différence est 9 − 8 = 1. Les deux puissances sont donc consécutives et satisfont l'équation.
Le résultat contrôlé est le couple 8 et 9. Le calcul inverse vérifie chaque donnée : 8 + 1 = 9, tandis que 8 = 2³ et 9 = 3². La représentation des deux puissances sur un même segment rend simultanément visibles leurs écritures et leur écart d'une unité.
En pratique
Pour tester deux puissances parfaites consécutives, on commence par vérifier que les deux bases et les deux exposants dépassent 1. Si cette condition échoue, le théorème de Mihailescu n'est pas le bon outil.
Lorsque les quatre entiers remplissent la condition et que la différence vaut 1, il n'est pas nécessaire de poursuivre une recherche de solutions : le théorème impose 3² et 2³.
Pour expliquer le résultat sans formalisme, on compare directement 8 = 2³ et 9 = 3². Pour contrôler les hypothèses ou l'ordre des termes, l'écriture diophantienne est préférable.
À ne pas confondre
Conjecture et théorème. Une conjecture est une affirmation proposée sans démonstration complète. L'énoncé de Catalan était donc une conjecture en 1842 ; depuis sa démonstration en 2002, le même énoncé est le théorème de Mihailescu.
L'autre conjecture de Catalan. Eugène Catalan a aussi formulé une conjecture sur les suites aliquotes. Son objet permet de trancher : une question sur les puissances entières consécutives relève du théorème de Mihailescu, tandis qu'une question sur les suites aliquotes relève de cette autre conjecture indépendante.
Limites et pièges
Exposant égal à 1. Une écriture telle que 8¹ = 8 ne respecte pas les hypothèses. Le symptôme est immédiat : l'une des quatre valeurs n'est pas strictement supérieure à 1. Il faut revenir à une comparaison ordinaire d'entiers.
Différence orientée dans l'autre sens. Avec 2³ − 3², le résultat est −1 et non 1. Le couple reste formé des mêmes entiers consécutifs, mais l'équation demandée place la plus grande puissance en premier.
Une seule puissance parfaite. Le fait que deux entiers soient consécutifs ne suffit pas. Par exemple, 8 et 9 conviennent parce que chacun possède l'écriture requise ; le théorème ne classe pas les paires dont un seul terme est une puissance parfaite.
Pour aller plus loin
L'équation diophantienne replace l'égalité entre puissances dans la famille des équations dont on cherche les solutions entières.
La suite aliquote permet d'identifier l'autre conjecture attribuée à Eugène Catalan, indépendante du résultat sur les puissances consécutives.
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