conjecture de Ramanujan

Prenez une puissance de 2 et retirez-lui 7. Le résultat est-il le carré d'un entier naturel ? Pour l'exposant 7, on obtient 128 − 7 = 121, qui est le carré de 11.

Ramanujan avait affirmé en 1913 que ce phénomène ne se produit que pour cinq exposants : 3, 4, 5, 7 et 15. Nagell l'a démontré en 1948. La conjecture est donc aujourd'hui un résultat établi, appelé équation de Ramanujan-Nagell.

La conjecture de Ramanujan, désormais démontrée, concerne une équation diophantienne exponentielle : elle demande des solutions parmi les entiers naturels. La lettre x désigne l'entier dont on prend le carré, et la lettre n désigne l'exposant de 2. L'équation est $x^2+7=2^{n}x^2+7=2^n$.

Le résultat affirme que les seuls couples formés par l'entier x et l'exposant n sont (1, 3), (3, 4), (5, 5), (11, 7) et (181, 15). Autrement dit, aucune autre valeur naturelle de n ne rend 2ⁿ − 7 égal au carré d'un entier naturel.

Ramanujan a formulé cette affirmation en 1913. Trygve Nagell l'a démontrée en 1948, d'où le nom d'équation de Ramanujan-Nagell. Son étude relève des équations diophantiennes et fait aussi intervenir la théorie des corps quadratiques.

Si x et n sont des entiers naturels qui vérifient $x^2+7=2^{n}x^2+7=2^n$, alors le couple (x, n) appartient exactement à l'ensemble suivant : (1, 3), (3, 4), (5, 5), (11, 7) ou (181, 15). Réciproquement, chacun de ces cinq couples vérifie l'équation.

Les cinq contrôles ci-après montrent les égalités numériques associées. Ils vérifient les solutions annoncées ; le théorème de Nagell établit qu'il n'en existe aucune autre parmi les entiers naturels.

Le résultat porte sur l'équation précise x² + 7 = 2ⁿ. Les deux inconnues x et n doivent être des entiers naturels, et le membre de droite doit être une puissance de 2. Dans ce cadre, le résultat fournit la liste complète des solutions, pas seulement quelques exemples.

Si l'on remplace 7 par un autre entier, si l'on change la base 2 ou si l'on autorise des nombres non entiers, on étudie une autre équation. Par exemple, x² + 8 = 2ⁿ ne relève pas de l'énoncé de Ramanujan-Nagell : il faut résoudre ce nouveau problème séparément.

Vérifions le couple annoncé (x, n) = (11, 7). Les données sont l'exposant n = 7, la constante 7 et l'entier proposé x = 11.

1. On calcule la puissance de 2 : 2⁷ = 128.
2. On retire 7 : 128 − 7 = 121.
3. On reconnaît un carré entier : 121 = 11².
4. On remet 7 de l'autre côté : 11² + 7 = 121 + 7 = 128 = 2⁷.

Le couple (11, 7) est donc bien une solution. Le contrôle est refaisable dans l'autre sens en calculant séparément 11² + 7 et 2⁷ : les deux membres valent exactement 128. Cette vérification établit une solution particulière ; c'est le résultat de Nagell qui garantit que la liste entière n'en contient que cinq.

Pour tester une valeur donnée de n, on calcule 2ⁿ − 7, puis on cherche si le résultat est le carré d'un entier naturel. Cette vérification directe convient pour confirmer un couple proposé, comme (11, 7).

Pour savoir si toutes les solutions ont été trouvées, une suite d'essais ne suffit pas : il resterait toujours des exposants plus grands à examiner. On s'appuie alors sur le résultat démontré par Nagell, qui assure que la liste des cinq couples est exhaustive.

Si la constante 7 ou la base 2 change, on ne réutilise pas automatiquement cette liste. On reformule l'équation obtenue et on cherche un résultat adapté à ce nouveau problème diophantien.

Une conjecture et un théorème. Une conjecture est une affirmation proposée avant sa démonstration ; un théorème est établi par une preuve. L'énoncé de 1913 était une conjecture, mais la démonstration de 1948 en a fait un résultat prouvé.

Une solution vérifiée et la liste complète. L'égalité 11² + 7 = 2⁷ prouve seulement que (11, 7) est une solution. Elle ne prouve pas que les quatre autres sont les seules autres solutions ; cette exhaustivité appartient au théorème de Ramanujan-Nagell.

Le domaine ne doit pas être élargi silencieusement. La liste donnée vaut lorsque x et n sont naturels. Si un exercice choisit une autre convention ou un autre ensemble de nombres, il faut reprendre les hypothèses avant d'appliquer le résultat.

Un essai négatif ne donne pas une preuve générale. Pour n = 6, on obtient 2⁶ − 7 = 57, qui n'est pas le carré d'un entier naturel. Ce constat élimine n = 6 seulement ; il ne renseigne pas, à lui seul, sur tous les exposants suivants.

L'équation est rigide. Le nombre 7 et la base 2 font partie de l'énoncé. Modifier l'un d'eux ne crée pas un cas particulier de la même liste, mais une nouvelle équation diophantienne exponentielle à étudier.

L'article équation diophantienne replace la recherche de solutions entières dans son cadre général.

La fiche Entiers naturels précise l'ensemble dans lequel les deux inconnues sont recherchées.

La notion de corps quadratique ouvre sur l'autre cadre théorique cité dans l'étude de cette équation.