AlgèbreNotion · Glossaire
Mihailescu Preda
Preda V. Mihailescu est un mathématicien roumain né en 1955. Quittant la Roumanie en 1973, il s'installe en Suisse où il soutient une thèse intitulée Cyclotomy of rings and primality testing. Il est ensuite nommé professeur à l'université de Göttingen, où ses recherches portent sur l'algorithmique et les équations diophantiennes. Il est l'auteur de la démonstration, en 2002, de la conjecture de Catalan : hormis le couple (8, 9), il n'existe pas deux puissances entières consécutives am et bn avec a, b et m, n strictement supérieurs à 1.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier Preda Mihailescu et les grandes étapes données de son parcours.
- Vérifier pourquoi 8 et 9 forment le couple exceptionnel.
- Distinguer la conjecture de sa démonstration.
En clair
Regardez les deux nombres 8 et 9 : ils se suivent, mais chacun peut s'écrire comme une puissance d'un autre entier. En effet, 8 = 23 et 9 = 32. La conjecture de Catalan demandait si une telle rencontre pouvait se produire ailleurs. Le travail de Preda Mihailescu a établi que ce couple est le seul lorsque les bases et les exposants sont des entiers strictement supérieurs à 1.
Cette histoire relie une question très concrète sur des nombres voisins à des outils d'algorithmique et d'équations diophantiennes. Elle explique pourquoi le couple 8–9 est exceptionnel, plutôt qu'un simple exemple parmi beaucoup d'autres.
Définition
Preda Mihailescu est un mathématicien roumain dont les travaux relèvent notamment de l'algorithmique et des équations diophantiennes, c'est-à-dire des équations où l'on cherche des solutions entières. Sa contribution la plus connue est la démonstration, en 2002, de la conjecture de Catalan.
La conjecture porte sur deux entiers consécutifs qui seraient tous deux des puissances entières d'autres entiers. Ici, « puissance entière » signifie une expression comme am, où la base a est un entier strictement supérieur à 1 et m un entier supérieur à 1. Le résultat affirme qu'en dehors de 8 et 9, aucun couple d'entiers consécutifs supérieurs à 1 ne possède cette propriété. Le couple exceptionnel se vérifie par 8 = 23 et 9 = 32.
Le nom de conjecture désignait une affirmation plausible mais non démontrée. Après la preuve de Mihailescu, cette affirmation est devenue un théorème. La question appartient à la théorie des nombres, même si le parcours du mathématicien inclut aussi une thèse sur la cyclotomie des anneaux et les tests de primalité, puis un poste de professeur à l'université de Göttingen.
Un exemple, pas à pas
Prenons le couple conducteur 8 et 9. Il faut d'abord vérifier qu'il s'agit bien de deux entiers consécutifs : 9 − 8 = 1.
On cherche ensuite une écriture en puissance pour chacun. Pour 8, la base est 2 et l'exposant est 3 : 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Pour 9, la base est 3 et l'exposant est 2 : 32 = 3 × 3 = 9.
La conclusion est donc précise : 8 et 9 sont consécutifs, et chacun est une puissance entière d'un autre entier. Le théorème de Catalan dit que cette vérification ne peut réussir pour aucun autre couple d'entiers consécutifs supérieurs à 1, avec des bases et des exposants strictement supérieurs à 1.
Le schéma associé place les deux nombres sur une même droite graduée et relie chaque nombre à son écriture en puissance. Il faut observer à la fois leur voisinage immédiat et la différence entre les bases 2 et 3.
En pratique
Pour tester un couple proposé, on vérifie séparément deux propriétés : les nombres diffèrent de 1, puis chacun possède une écriture am avec une base entière a strictement supérieure à 1 et un exposant m supérieur à 1. Le couple 8–9 satisfait ces deux tests grâce à 8 = 23 et 9 = 32.
Ce contrôle permet de reconnaître l'exemple exceptionnel, mais il ne constitue pas une méthode pour démontrer qu'aucun autre couple n'existe. Cette impossibilité générale est précisément le contenu du résultat démontré par Mihailescu.
À ne pas confondre
La conjecture de Catalan ne dit pas qu'il n'existe qu'une seule puissance entière. Il existe au contraire une infinité de puissances, comme 23, 32 ou 42. Elle porte sur la situation beaucoup plus restrictive où deux puissances sont consécutives.
Il ne faut pas non plus confondre « entiers consécutifs » avec « puissances d'exposants consécutifs ». Dans 8 = 23 et 9 = 32, ce sont les valeurs 8 et 9 qui se suivent ; les exposants 3 et 2 ne jouent pas ce rôle dans l'énoncé.
Limites et pièges
Le mot « puissance » doit être compris ici avec une base entière strictement supérieure à 1 et un exposant entier supérieur à 1. Si l'exposant 1 était admis, tout entier serait immédiatement une puissance de lui-même et l'énoncé perdrait son contenu. Le théorème concerne donc des puissances non triviales.
L'énoncé est une affirmation d'existence et d'unicité sur des puissances de bases entières supérieures à 1 et d'exposants supérieurs à 1, dont les valeurs sont consécutives : il reconnaît le cas 8–9 et exclut tous les autres. Il ne fournit pas, à lui seul, une procédure élémentaire pour examiner indéfiniment tous les entiers ; la démonstration de Mihailescu mobilise des résultats avancés de théorie des nombres.
Enfin, une conjecture et sa démonstration ne désignent pas la même étape historique. La conjecture de Catalan était le problème ouvert ; la preuve publiée en 2002 par Mihailescu en a établi la conclusion mathématique.
Pour aller plus loin
La conjecture de Catalan présente l'énoncé mathématique dont la démonstration a rendu le couple 8–9 célèbre. Elle permet d'approfondir la formulation en termes de puissances entières consécutives.
L'article L'identité heureuse fournit un prolongement sur une égalité remarquable entre puissances, dans l'univers des équations diophantiennes auquel se rattache cette histoire.
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