équation de Fermat de degré 5

Imaginez trois entiers non nuls et cherchez si les deux premiers, élevés à la cinquième puissance puis additionnés, donnent exactement le troisième élevé à la cinquième puissance. Le cas étudié s'écrit $x^5+y^5=z^{5}x^5+y^5=z^5$. Un essai comme 1⁵ + 2⁵ donne 33, alors que 3⁵ donne 243 : ces nombres ne conviennent pas. Le résultat historique va plus loin : aucun choix d'entiers non nuls ne convient, et le cas de degré 5 a été résolu avant la preuve générale du théorème de Fermat.

Une équation diophantienne cherche des solutions entières. Ici, x, y et z désignent des entiers non nuls, et le degré 5 signifie que chaque inconnue est multipliée cinq fois par elle-même. La question est de savoir si l'identité $x^5+y^5=z^{5}x^5+y^5=z^5$ peut être satisfaite par un triplet d'entiers non nuls.

Le cas de degré 5 est le cas particulier n = 5 du grand théorème de Fermat. Sa résolution complète signifie qu'il n'existe aucune solution entière non nulle de cette forme. Cette conclusion ne porte pas sur tous les triplets de nombres : l'hypothèse de non-nullité est essentielle, car des zéros produisent des égalités dégénérées qui ne sont pas visées par le théorème.

La source distingue plusieurs étapes historiques. Fermat avait résolu le cas de degré 4 et Euler celui de degré 3, tandis que Sophie Germain avait traité au début du 19e siècle le sous-cas où aucune inconnue n'est multiple de cinq. La résolution complète du degré 5 est due aux travaux de Dirichlet et de Legendre ; elle mobilise notamment l'anneau des entiers de $\mathbb{Q}(\sqrt{5})\backslash mathbb\{Q\}(\backslash sqrt\{5\})$. La preuve générale a été établie en 1995 par Andrew Wiles.

L'équation repose sur quatre éléments liés. Le degré 5 fixe la puissance appliquée à chaque inconnue. Les entiers x et y sont les deux termes additionnés, tandis que z porte le résultat. La condition « non nuls » écarte les égalités dégénérées. Enfin, le signe égal impose une identité exacte, et non une proximité numérique.

Modifier le degré change le problème : le cas n = 3 ou n = 4 n'est pas le cas n = 5. Modifier le domaine change également la question : des nombres non entiers ne sont pas les solutions diophantiennes étudiées ici. Ces données suffisent à construire un test d'une proposition de triplet, mais un test isolé ne suffit pas à établir l'absence de toutes les solutions.

On examine le triplet d'entiers non nuls x = 1, y = 2 et z = 3. Il s'agit d'un test de l'équation, pas d'une preuve du théorème. Les données sont donc 1, 2 et 3, avec le degré 5.

On calcule d'abord 1⁵ = 1.
On calcule ensuite 2⁵ = 32.
La somme du membre de gauche vaut 1 + 32 = 33.
Enfin, 3⁵ = 243.
La comparaison donne 33 ≠ 243 : ce triplet ne résout pas l'équation.

Le contrôle est refaisable en multipliant chaque base cinq fois : 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 et 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243. L'écart entre 33 et 243 confirme seulement l'échec de ce candidat ; la résolution complète du cas de degré 5 vient d'un raisonnement général associé aux travaux de Dirichlet et de Legendre.

Pour vérifier un candidat, on commence par contrôler que les trois valeurs sont des entiers non nuls. Si l'une vaut zéro, le triplet sort du problème étudié.

On élève ensuite chaque valeur à la cinquième puissance et on compare exactement la somme de x⁵ et y⁵ à z⁵. Une calculatrice ou un calcul écrit permet de traiter un exemple numérique, mais ne remplace pas la preuve générale.

Pour comprendre l'histoire du résultat, on distingue le sous-cas étudié par Sophie Germain de la résolution complète du degré 5, due aux travaux de Dirichlet et de Legendre. L'article indexé Les nombres de Sophie Germain apporte un prolongement consacré à cette méthode.

Le cas de degré 5 ne doit pas être confondu avec le grand théorème de Fermat dans son ensemble. Le critère qui les sépare est le domaine des exposants : cette fiche traite n = 5, tandis que l'énoncé général concerne tout entier n supérieur à 2. Un calcul qui échoue pour un triplet ne tranche que ce triplet ; la résolution du cas entier exige un argument général.

Le premier piège est de laisser une inconnue prendre la valeur zéro. Par exemple, 1⁵ + 0⁵ = 1⁵ est une égalité, mais elle ne constitue pas une solution admissible, car les inconnues doivent être non nulles. Il faut donc vérifier cette condition avant tout calcul.

Le deuxième piège est de transformer le sous-cas de Sophie Germain en résolution complète. Son résultat concerne les situations où aucune inconnue n'est multiple de cinq ; il reste alors à traiter les autres situations. Il faut se référer à la résolution complète due aux travaux de Dirichlet et de Legendre pour le cas n = 5.

Enfin, un essai numérique ne permet jamais de conclure par épuisement sur tous les entiers non nuls : il y en a une infinité. Une égalité exacte vérifiée pour quelques valeurs est un contrôle local, tandis que l'absence générale de solution relève de la démonstration historique du cas de degré 5.

Pour prolonger l'étude, l'article Les nombres de Sophie Germain montre comment un sous-cas lié à la divisibilité par cinq s'insère dans l'histoire de l'équation. Le lecteur y gagne un éclairage sur la stratégie de réduction d'un problème diophantien, sans confondre cette étape avec la résolution complète du degré 5.