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équation de Pell-Fermat
L'équation de Pell-Fermat est une équation diophantienne quadratique x² − n·y² = m, où n est un entier strictement positif qui n'est pas un carré parfait, m un entier, et x et y les entiers recherchés. Elle demande donc quand la différence entre un carré et n fois un autre carré vaut m ; dans les cas solubles, sa structure multiplicative permet d'engendrer de nouvelles solutions à partir d'une première.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le rôle des quatre données x, y, n et m.
- Trouver puis vérifier la solution positive (3, 2) de x² − 2y² = 1.
- Produire (17, 12) par une récurrence et en contrôler l'égalité exacte.
- Distinguer le cas classique m = 1, la variante négative et le cas général.
- Repérer les cas sans solution et le changement de structure lorsque n est un carré parfait.
En clair
Prenons deux nombres entiers, 3 et 2. En calculant 3² − 2 × 2², on obtient 9 − 8, donc 1. Le couple (3, 2) résout ainsi une équation de Pell-Fermat.
Le jeu consiste à fixer les deux nombres de l'équation, ici 2 et 1, puis à trouver tous les couples entiers qui rendent l'égalité vraie. Les solutions sont rares parmi les couples essayés au hasard, mais elles obéissent à une structure qui permet d'en produire d'autres.
Définition
Une équation de Pell-Fermat est une équation diophantienne quadratique : ses inconnues, notées x et y, doivent être des entiers. Le paramètre n est un entier strictement positif qui n'est pas le carré d'un entier, tandis que le paramètre m est un entier fixé. La relation demandée est : .
Le cas m = 1 est souvent appelé équation de Pell. Le cas m = −1 est sa variante négative, et une valeur quelconque de m conduit à une équation de Pell-Fermat généralisée. Pour m = 1, le couple (1, 0) est toujours une solution ; l'enjeu est donc de trouver les solutions non triviales, avec y non nul. Pour un m général, l'existence d'une solution n'est pas garantie.
Dans l'anneau des nombres de la forme x + y√n, le membre x² − ny² est le produit de x + y√n par x − y√n. Cette lecture par la norme explique pourquoi, dans le cas m = 1, la multiplication de solutions joue un rôle central. Le traitement complet du cas général fait intervenir les entiers algébriques et, selon le cadre, les classes d'idéaux.
De quoi c'est fait
Quatre données organisent l'équation. Les inconnues entières x et y forment le couple recherché. L'entier positif n fixe la racine carrée irrationnelle qui structure le problème ; il ne doit pas être un carré parfait. Enfin, l'entier m fixe la valeur que doit prendre la différence x² − ny².
Les rôles sont liés. Une fois n et m choisis, x et y ne peuvent plus varier indépendamment : augmenter y impose que x² reste exactement à m unités de ny². Réciproquement, changer m change l'ensemble des couples admissibles, même si n reste identique.
Ces données suffisent à tester un couple par substitution. Dans le cas m = 1, elles permettent aussi de composer des solutions grâce au produit des expressions x + y√n, dont la norme vaut 1. Cette structure multiplicative, et non la manière de tracer la courbe associée, caractérise le problème arithmétique.
Un exemple, pas à pas
On fixe n = 2 et m = 1, puis on cherche une solution avec x et y positifs. Les données sont donc l'équation x² − 2y² = 1 et l'obligation que x et y soient entiers.
1. Pour y = 1, il faudrait x² = 3, ce qui ne donne aucun entier x. Pour y = 2, il faut x² = 1 + 2 × 2² = 9 ; on obtient x = 3.
2. Le couple (3, 2) est bien solution, car 3² − 2 × 2² = 9 − 8 = 1. C'est la plus petite solution avec x et y strictement positifs.
3. À partir d'une solution (x, y), la multiplication par 3 + 2√2 donne une nouvelle paire. Elle se calcule par : . Avec (3, 2), cela donne x' = 17 et y' = 12.
4. Le contrôle final est indépendant de la récurrence : 17² − 2 × 12² = 289 − 288 = 1. La chaîne des calculs montre donc deux solutions exactes, (3, 2) puis (17, 12).
En pratique
Pour tester un couple proposé, on calcule séparément x² et ny², puis leur différence. Ce contrôle direct est préférable à une valeur décimale lorsque l'égalité entière doit être exacte.
Pour chercher les premières solutions d'un petit cas, on peut essayer successivement y = 0, 1, 2, puis examiner si m + ny² est un carré parfait. Cette exploration convient à une plage courte ; une récurrence issue d'une solution fondamentale devient préférable lorsque les nombres grandissent.
Dans le cas m = 1, le quotient x/y d'une solution positive vérifie x²/y² = n + 1/y². Il fournit donc une approximation rationnelle de √n, d'autant plus précise que y est grand. Pour n = 2, 17/12 est ainsi plus proche de √2 que 3/2.
À ne pas confondre
Une équation diophantienne demande des solutions entières, mais elle peut avoir bien d'autres formes. L'équation x + y = 5 est diophantienne sans être une équation de Pell-Fermat, car elle n'est pas de la forme quadratique x² − ny² = m.
La courbe réelle d'équation x² − ny² = m contient en général une infinité de points réels. Le problème de Pell-Fermat ne retient que les points dont les deux coordonnées sont entières : pour x² − 2y² = 1, (3, 2) convient, tandis que (√(3/2), 1/2), pourtant situé sur la courbe, ne convient pas.
Limites et pièges
Si n est un carré parfait, la structure change : pour n = a², le membre gauche se factorise en (x − ay)(x + ay). Il faut alors traiter un problème de diviseurs ; ce cas sort de la définition de Pell-Fermat retenue ici.
Un entier m quelconque ne garantit aucune solution. Pour n = 3 et m = −1, réduire l'équation modulo 3 imposerait x² ≡ 2 modulo 3, ce qui est impossible puisque les carrés modulo 3 valent seulement 0 ou 1. Il faut donc tester l'existence avant de chercher une famille.
Lorsque m = 1, (1, 0) est une solution, mais elle ne renseigne pas sur les solutions positives recherchées habituellement. Il faut annoncer si les solutions triviales, les signes opposés (−x, y), (x, −y) et les couples positifs sont inclus dans le décompte.
Le problème des bœufs d'Hélios est parfois rapproché de ces équations. Cette association historique ne suffit pas à identifier les deux problèmes : leur lien effectif reste discuté, et il faut conserver cette réserve lorsqu'on les cite.
Pour aller plus loin
Équation diophantienne — Replacer la condition de solutions entières dans une famille d'équations plus vaste.
Fraction continue — Relier les solutions de l'équation de Pell aux approximations rationnelles de √n.
Les fractions continues, — Approfondir l'outil qui organise les meilleures approximations rationnelles et conduit aux solutions fondamentales.
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