Bhâskara

Au VII^e siècle, Bhāskara I commente l'œuvre d'Āryabhata et propose une approximation rationnelle remarquable du sinus. Cinq siècles plus tard, Bhāskara II dirige l'observatoire d'Ujjain.

Le nom « Bhâskara » ne renvoie donc pas à une seule personne. Il faut regarder l'époque et le sujet : le premier est associé au sinus, tandis que le second réunit arithmétique, algèbre et astronomie dans plusieurs traités.

Bhâskara est le nom porté par deux mathématiciens indiens distincts. Bhāskara I, né vers 600 et mort vers 680, appartient au VII^e siècle. Dans son commentaire de l'œuvre d'Āryabhata, il donne une approximation rationnelle remarquable de la fonction sinus.

Bhāskara II (1114-1185), ou Bhāskarācārya, est mathématicien et astronome. Il dirige l'observatoire astronomique d'Ujjain. Son Bijaganita aborde notamment les équations indéterminées. Si x et y désignent des nombres entiers et n un entier strictement positif qui n'est pas un carré parfait, l'une de leurs formes s'écrit $x^2=n{y}^2+1x^2=ny^2+1$.

Son Bijaganita porte sur l'algèbre, les polynômes du second degré et les racines carrées ; il contient aussi une preuve du théorème de Pythagore par assemblage de pièces. Le Siddhānta-Shiromani, daté de 1150, comprend quatre sections : le Lilavati, le Bijaganita, le Goladhyaya sur la sphère et le Grahaganita sur les mathématiques des planètes. Bhāskara II emploie les nombres négatifs et le zéro, approche l'infini et établit les formules du sinus d'une somme et d'une différence.

Prenons une équation du type étudié dans le Bijaganita. Les données sont le paramètre entier n égal à 2, le nombre entier x égal à 3 et le nombre entier y égal à 2. Il faut contrôler que les deux membres ont la même valeur.

1. Le carré de x vaut 3², soit 9.

2. Le carré de y vaut 2², soit 4. Le produit de n par ce carré vaut donc 2 × 4, soit 8.

3. En ajoutant 1 au produit précédent, on obtient 9. L'égalité complète est :

Une représentation par cases permet aussi de contrôler les deux quantités : neuf cases d'un côté, puis deux groupes de quatre cases et une case supplémentaire de l'autre.

Le couple d'entiers x = 3 et y = 2 vérifie donc l'équation lorsque n = 2. Le contrôle est refaisable en recalculant séparément 3² et 2 × 2² + 1.

Pour attribuer un texte à Bhâskara, l'époque fournit le premier repère. Un commentaire d'Āryabhata consacré notamment au sinus renvoie à Bhāskara I ; un traité du XII^e siècle renvoie à Bhāskara II.

Parmi les œuvres de Bhāskara II, le sujet permet de choisir le bon traité. Pour l'arithmétique, notamment l'extraction de racines, les équations du premier degré et la fausse position, on consulte le Lilavati. Pour les équations indéterminées, l'algèbre du second degré et les racines carrées, le Bijaganita est le repère pertinent.

En astronomie, le choix se précise encore : le Goladhyaya concerne la sphère, tandis que le Grahaganita concerne les mathématiques des planètes. Ces deux parties appartiennent au Siddhānta-Shiromani.

Bhāskara I et Bhāskara II. Le critère décisif est la période : Bhāskara I appartient au VII^e siècle, alors que Bhāskara II vit de 1114 à 1185. Une mention de l'observatoire d'Ujjain désigne le second.

Lilavati et Bijaganita. Le premier est présenté comme un traité d'arithmétique ; le second comme un traité d'algèbre. L'étude des équations indéterminées, notamment de la forme x² = ny² + 1, et la preuve par pièces du théorème de Pythagore relèvent ici du Bijaganita.

Siddhānta-Shiromani et deux de ses quatre sections. Le Siddhānta-Shiromani, daté de 1150, comprend quatre sections, dont le Goladhyaya et le Grahaganita. Ces deux titres n'en sont pas des synonymes : ils traitent respectivement de la sphère et des mathématiques des planètes.

Un nom sans numéro est ambigu. Si une notice écrit seulement « Bhâskara », son siècle, son œuvre ou son domaine doit être vérifié avant toute attribution. Il ne faut pas fusionner les biographies des deux auteurs.

« Équation de Pell » est un nom actuel. La source dit que les équations de la forme x² = ny² + 1 sont aujourd'hui ainsi appelées. Employer ce nom aide à les reconnaître, mais ne justifie pas d'attribuer ce vocabulaire moderne au Lilavati.

Approcher l'infini n'est pas formaliser toutes ses acceptions. La source attribue à Bhāskara II une approche de la notion d'infini. En l'absence de précision supplémentaire, il faut conserver cette formulation mesurée.

L'influence indiquée reste générale. Les travaux de Bhāskara II ont durablement influencé des mathématiciens arabes et occidentaux, mais la source ne détaille ni intermédiaire ni date de transmission. Il faut éviter d'inventer une chaîne précise.

L'équation de Pell-Fermat prolonge l'étude de la famille d'équations indéterminées abordée dans le Bijaganita.

Le théorème de Pythagore permet d'approfondir le résultat dont le Bijaganita contient une preuve par assemblage de pièces.