mathématiques à la Renaissance

En 1482 paraît la première édition imprimée des Éléments d’Euclide. Dans les ateliers, les artistes règlent la perspective ; dans les observatoires, Copernic réorganise le ciel ; chez les calculateurs italiens, de nouvelles équations sont résolues.

Les mathématiques à la Renaissance ne forment donc pas une découverte unique. Elles désignent une transformation des façons de transmettre, de représenter et de calculer aux XVe et XVIe siècles. L’imprimerie diffuse les textes, les problèmes techniques nourrissent les méthodes, et l’algèbre acquiert peu à peu un langage plus général.

La Renaissance mathématique est une période de renouvellement des pratiques et des méthodes, principalement aux XVe et XVIe siècles. Elle se développe au contact des civilisations orientales, surtout en Italie, grâce à la redécouverte des textes grecs, à l’observation de la nature et à de nouveaux problèmes techniques. Nicolas de Cues et Léonard de Vinci illustrent la réforme des méthodes scientifiques. Artisans, ingénieurs et artistes y apportent un savoir empirique qui nourrit les mathématiques appliquées.

L’imprimerie, inventée vers 1434 malgré des résistances initiales, change l’échelle de transmission. Après les Éléments d’Euclide imprimés en 1482, la Summa de Luca Pacioli, publiée en 1494, devient le premier grand manuel d’arithmétique et d’algèbre. La perspective formalise la représentation de l’espace, la projection de Mercator soutient la cartographie et le modèle héliocentrique donne aux mathématiques un rôle décisif en astronomie.

L’algèbre progresse surtout en Italie. La redécouverte de Diophante, les notations cossistes, la résolution des équations des troisième et quatrième degrés, puis l’emploi de lettres par François Viète pour les inconnues et les coefficients transforment l’étude de problèmes particuliers en étude générale des équations. Cette évolution exige d’accueillir les nombres négatifs et imaginaires, mais le raisonnement algébrique reste encore partiellement attaché à la géométrie.

On rencontre cette histoire dans une bibliothèque, un atelier d’artiste, un observatoire ou sur une carte. Plusieurs marqueurs permettent de la reconnaître : une édition imprimée d’un texte ancien, un traité de perspective, une équation écrite avec des notations encore hésitantes, un modèle héliocentrique ou une projection cylindrique de la Terre.

Ces supports portent une même information : les mathématiques circulent entre textes savants et problèmes concrets. Les œuvres d’Euclide et de Diophante sont redécouvertes ou diffusées ; les artistes organisent l’espace visible ; les astronomes comparent des modèles du monde ; les algébristes cherchent des règles générales de résolution.

Pour situer un document ou un résultat dans la Renaissance mathématique, il faut lire la nature de l’innovation plutôt que le seul nom de son auteur.

1. Repérez d’abord le support : livre imprimé, traité de perspective, carte, observation astronomique ou méthode algébrique.
2. Identifiez ensuite le geste nouveau : diffuser, représenter, observer, projeter ou résoudre.
3. Relevez la date précise donnée par la source et distinguez formulation, publication et prolongement.
4. Reliez enfin le document au fil concerné : transmission, géométrie visuelle, astronomie ou algèbre.

La convention chronologique principale couvre les XVe et XVIe siècles. L’œil peut pourtant prendre une suite de grands noms pour une progression unique et régulière. Le bon réflexe consiste à suivre séparément chaque fil : la publication de Copernic n’est pas la confirmation de Galilée, et la méthode de Cardan n’est pas la notation générale de Viète.

Suivons un même problème : la résolution des équations cubiques, c’est-à-dire du troisième degré. Les données historiques sont l’équation réduite $x^3+ax=bx^3+ax=b$, où a et b sont des nombres positifs donnés, les noms de del Ferro, Tartaglia et Cardan, puis les dates approximatives 1500 et 1535 et la publication de 1545.

1. Vers 1500, Scipione del Ferro résout cette forme réduite.
2. Vers 1535, Tartaglia sait résoudre une trentaine de types d’équations cubiques.
3. En 1545, Cardan publie dans l’Ars Magna des méthodes pour les différents cas d’équations du troisième degré à coefficients positifs.
4. Cardan distingue ces cas à l’aide de coefficients positifs, mais admet aussi des solutions négatives ; celles-ci ne doivent pas être confondues avec les quantités imaginaires.

Le contrôle consiste à ne pas fondre ces étapes en une découverte unique : la forme résolue par del Ferro, les nombreux types traités par Tartaglia et la publication des méthodes par Cardan correspondent à trois apports distincts. La frise associée conserve cet ordre sans attribuer la même date aux trois résultats.

Dans un traité de peinture ou d’architecture, on suit les règles de perspective pour représenter fidèlement la profondeur. Brunelleschi, Piero della Francesca, Alberti, Léonard de Vinci et Dürer participent à cette formalisation.

En cartographie, la projection cylindrique publiée par Mercator en 1569 fournit un outil pour représenter la Terre. Elle répond à un problème de projection, différent du travail perspectif des artistes.

En astronomie, un savant confronte une tradition à un modèle mathématiquement plus simple. Copernic formule le modèle héliocentrique dès 1530 et le publie en 1543 ; l’observation devient ensuite décisive chez Kepler et Galilée.

En algèbre, le calculateur choisit une méthode selon le degré de l’équation. Pacioli traite le second degré, les méthodes cubiques concernent le troisième, et Ferrari ramène le quatrième degré à une équation auxiliaire du troisième degré.

Renaissance mathématique et algèbre de la Renaissance. L’algèbre est l’un des fils de la période, non son contenu entier. La présence d’un traité de perspective, d’une carte de Mercator ou du modèle de Copernic relève aussi de cette histoire.

Formulation héliocentrique et arguments tirés de l’observation. Copernic formule son modèle dès 1530 et le publie en 1543. Les observations de Galilée apportent ensuite des arguments en sa faveur et réfutent certains modèles géocentriques : ces actes ne sont ni identiques ni contemporains.

Perspective de la Renaissance et géométrie projective. Les artistes formalisent des règles pour représenter la nature ; ces pratiques préparent la géométrie projective. Une perspective dessinée appartient donc à la préparation historique, pas automatiquement à la théorie constituée.

Une période aux frontières souples. Le cœur du mouvement appartient aux XVe et XVIe siècles, mais ses prolongements débordent ce cadre. Kepler formule ses lois au début du XVIIe siècle à partir des observations de Tycho Brahé et des siennes ; Galilée vit de 1564 à 1642. Il faut signaler ce prolongement plutôt que déplacer toutes les dates dans la Renaissance.

Une attribution n’efface pas les étapes. Dire que Cardan « résout la cubique » masque les travaux antérieurs de del Ferro et Tartaglia. Le symptôme est une date unique accolée à trois apports ; il faut distinguer résolution d’une forme réduite, traitement de nombreux types et publication des méthodes.

Des nombres encore difficiles à admettre. Cardan distingue les cas à l’aide de coefficients positifs tout en admettant des solutions négatives. Bombelli systématise ensuite le calcul avec des quantités imaginaires, qui font intervenir des racines carrées de nombres négatifs. Les mots « négatifs » et « imaginaires » désignent donc deux notions distinctes, dont l’acceptation a été progressive.

Une algèbre pas encore entièrement symbolique. Viète généralise l’usage des lettres aux inconnues et aux coefficients indéterminés, mais le raisonnement reste partiellement ancré dans la géométrie. Il serait trompeur de lire les notations renaissantes comme celles de l’algèbre actuelle.

Algèbre — Pour replacer les méthodes de résolution et la notation de Viète dans l’histoire générale du calcul symbolique.

La nouvelle algèbre de Monsieur Viète — Pour approfondir le passage des problèmes particuliers à une écriture générale des équations.

La projection de Mercator — Pour examiner le prolongement cartographique cité dans la fiche.

Un fabuleux traité de perspective — Pour poursuivre le lien entre construction géométrique et représentation de l’espace.