Faltings Gerd

En 1983, Gerd Faltings démontre la conjecture de Mordell. Le problème porte sur des courbes algébriques lisses et projectives, géométriquement intègres, définies avec des nombres rationnels, donc des fractions. Le genre est un nombre entier qui classe ces courbes selon leur forme géométrique ; ici, il sert de seuil pour savoir si le théorème s’applique. Pour celles de genre au moins égal à deux, Faltings prouve que les points dont les coordonnées sont rationnelles sont en nombre fini. L’exemple de la courbe de Fermat montrera comment calculer ce genre.

Le théorème ne donne pas simplement une nouvelle façon de chercher ces points. Il garantit qu'une recherche qui paraît pouvoir se prolonger indéfiniment ne cache, sur chaque courbe concernée, qu'un ensemble fini de réponses.

Gerd Faltings est un mathématicien allemand né en 1954, spécialiste de théorie des nombres et de géométrie arithmétique. Il étudie les mathématiques et la physique à l'université de Münster, où il soutient son doctorat en 1978, puis séjourne à Harvard. Après son habilitation en 1981, il est professeur à Wuppertal puis à Princeton. Depuis 1995, il dirige l'Institut Max-Planck de mathématiques à Bonn.

Son résultat le plus célèbre est la démonstration, en 1983, de la conjecture de Mordell. Désormais appelé théorème de Faltings, il s'applique à une courbe algébrique lisse, projective et géométriquement intègre, définie sur les nombres rationnels, lorsque son genre est supérieur ou égal à deux. Sous ces hypothèses, la courbe possède seulement un nombre fini de points dont les coordonnées sont rationnelles. La conclusion est une finitude : elle ne signifie ni que l'ensemble est vide, ni que le théorème fournit automatiquement la liste des points.

Cette démonstration vaut à Faltings la médaille Fields en 1986. Elle donne notamment une finitude pour les points rationnels des courbes de Fermat de degré au moins quatre. Cette étape précède la démonstration complète du grand théorème de Fermat par Andrew Wiles en 1994, laquelle établit l'absence de solutions entières non triviales pour tout exposant entier supérieur à deux.

Considérons la courbe de Fermat de degré quatre. Les données sont l'équation homogène $X^4+Y^4=Z^{4}X^4+Y^4=Z^4$, le degré 4, une définition sur les rationnels et la recherche de points rationnels.

1. Cette équation définit une courbe projective plane lisse.

2. Pour une courbe plane lisse de degré 4, le genre vaut $g=\frac{(4-1)(4-2)}{2}=3g=\backslash frac\{(4-1)(4-2)\}\{2\}=3$.

3. Comme le genre 3 est supérieur ou égal à 2, le théorème de Faltings s'applique : cette courbe possède un nombre fini de points rationnels.

4. Un triplet entier non nul qui vérifie l'équation fournit le point projectif [X:Y:Z]. Le contrôle consiste à remarquer que multiplier les trois entiers par un même facteur ne crée pas un nouveau point projectif. La conclusion porte donc sur un nombre fini de rapports primitifs, et non sur tous leurs multiples écrits comme triplets entiers.

Face à une équation diophantienne représentée par une courbe, on vérifie d'abord que le modèle considéré est lisse, projectif et géométriquement intègre, puis son corps de définition et son genre. S'il est défini sur les rationnels et de genre au moins deux, le théorème de Faltings garantit la finitude de ses points rationnels. Il faut une autre méthode si l'on veut les déterminer explicitement.

Pour une courbe de Fermat de degré au moins quatre, le calcul du genre ouvre directement cette voie de finitude. Pour l'exposant trois, la courbe est de genre un : le critère observable échoue, et un résultat adapté aux courbes de genre un est nécessaire.

Dans une chronologie, trois jalons doivent rester distincts : la conjecture de Mordell démontrée en 1983, la médaille Fields attribuée à Faltings en 1986 et la démonstration complète du grand théorème de Fermat par Andrew Wiles en 1994.

Conjecture de Mordell et théorème de Faltings. La première est le nom historique de l'affirmation avant sa démonstration. Après la preuve donnée en 1983, cette même affirmation devient un théorème et porte le nom de Faltings.

Théorème de Faltings et grand théorème de Fermat. Le premier affirme une finitude de points rationnels pour les courbes de genre au moins deux. Le second affirme qu'une équation de Fermat d'exposant entier supérieur à deux n'a aucune solution entière non triviale. « Fini » ne signifie pas « vide ».

Point rationnel et solution entière. Un point rationnel peut être représenté par des coordonnées fractionnaires ou par un triplet entier homogène. Plusieurs triplets proportionnels représentent alors le même point projectif ; ils ne doivent pas être comptés comme des points distincts.

Genre inférieur à deux. Le théorème ne s'applique pas aux courbes de genre 0 ou 1. Le symptôme est immédiat : l'hypothèse « genre supérieur ou égal à deux » manque. Il faut employer des résultats propres à ces deux genres.

Finitude sans liste. Savoir qu'il existe seulement un nombre fini de points rationnels ne fournit pas, à lui seul, leurs coordonnées. Une recherche explicite demande donc des outils supplémentaires ; arrêter après l'énoncé de Faltings prouve une borne qualitative, pas un inventaire.

Courbes de Fermat. Pour un degré entier $n\ge 4n\backslash geq\; 4$, leur genre vaut $g=\frac{(n-1)(n-2)}{2}\ge 3g=\backslash frac\{(n-1)(n-2)\}\{2\}\backslash geq\; 3$, donc Faltings donne directement la finitude des points rationnels. Au degré 3, le genre vaut 1 : le cas exige un argument séparé.

Triplets proportionnels. Une formulation portant sur les solutions entières brutes peut tromper : si un triplet non nul était solution d'une équation homogène, tous ses multiples le seraient aussi. La conclusion de finitude concerne les points projectifs, ou les représentants primitifs, après identification des triplets proportionnels.

courbe algébrique — Pour situer l'objet géométrique auquel le théorème associe une propriété arithmétique de finitude.

Rationnels — Pour préciser quels nombres peuvent apparaître dans les coordonnées des points étudiés par le théorème.