théorème de Faltings

Prenez une courbe tracée par une équation et cherchez les points dont toutes les coordonnées sont des fractions. Selon la courbe, cette récolte peut se poursuivre indéfiniment. Le théorème de Faltings affirme qu’elle finit dès que la courbe possède une complexité suffisante, mesurée par un entier appelé genre : à partir du genre 2, les points rationnels sont en nombre fini.

Ce résultat ne donne ni la liste des points ni leur nombre. Il pose une frontière décisive : pour chaque courbe concernée, une liste complète aurait une longueur finie, même si la construire reste difficile.

Le théorème de Faltings est un résultat de géométrie arithmétique démontré par Gerd Faltings en 1983. Il établit la conjecture formulée par Mordell en 1922. Dans sa formulation précise, on considère une courbe C lisse, projective et géométriquement connexe, définie sur un corps de nombres K. Un point K-rationnel est un point de C dont les coordonnées appartiennent à K. Si le genre g de C vérifie g ≥ 2, alors l’ensemble de ces points est fini.

Le genre est un entier qui mesure une part de la complexité intrinsèque de la courbe. Pour une courbe plane projective lisse de degré d, il vaut $g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}g=\backslash frac\{(d-1)(d-2)\}\{2\}$. En présence de singularités, cette valeur doit être corrigée à l’aide des invariants propres aux singularités ; soustraire simplement leurs multiplicités n’est pas une règle générale.

Le résultat est qualitatif : il garantit la finitude sans fournir, à lui seul, une borne générale ni une procédure qui retrouve tous les points. Il s’inscrit dans une histoire amorcée notamment par les travaux d’Axel Thue au début du XX^e siècle. Appliqué aux courbes de Fermat d’exposant fixé au moins égal à 4, il a constitué une étape vers le dernier théorème de Fermat, démontré par Andrew Wiles en 1994. L’exposant 3 donne une courbe de genre 1 et ne relève pas de Faltings.

Soit K un corps de nombres, et soit C une courbe définie sur K, lisse, projective et géométriquement connexe. On note g son genre et C(K) l’ensemble de ses points dont les coordonnées appartiennent à K. Si g ≥ 2, alors :

Autrement dit, les points K-rationnels de C sont en nombre fini. Pour K = ℚ, ce sont les points à coordonnées rationnelles visés par la conjecture de Mordell.

L’application du théorème demande d’abord une courbe définie sur un corps de nombres, par exemple ℚ. Il faut ensuite travailler avec son modèle lisse, projectif et géométriquement connexe, puis vérifier que son genre est au moins égal à 2. La conclusion porte sur les points rationnels pour le corps choisi et affirme seulement leur finitude.

Si le genre vaut 0, le théorème ne s’applique pas : une droite définie sur ℚ possède par exemple une infinité de points rationnels. Si le genre vaut 1, il ne s’applique pas davantage ; une courbe elliptique peut avoir un ensemble infini de points rationnels. Il faut alors employer les outils adaptés aux courbes de genre 0 ou la structure de groupe des courbes elliptiques, plutôt que conclure par Faltings.

Considérons sur ℚ la courbe de Fermat d’exposant 4, donnée dans le plan projectif par l’équation $X^4+Y^4=Z^{4}X^4+Y^4=Z^4$. Les données sont son degré d = 4, l’absence de singularité de cette courbe et le seuil g ≥ 2. La figure résume le passage du degré à la conclusion de finitude.

1. La courbe est plane, projective et lisse ; la formule du genre d’une courbe plane lisse s’applique.

2. En remplaçant le degré d par 4, on obtient :

3. Comme 3 ≥ 2, le théorème de Faltings s’applique et affirme que l’ensemble des points rationnels de cette courbe est fini. Il n’affirme pas que cet ensemble est vide.

4. Un contrôle direct exhibe déjà les points rationnels [1:0:1], [−1:0:1], [0:1:1] et [0:−1:1] : chacun vérifie l’équation. Ces quatre points ne constituent pas, par le seul théorème, une liste exhaustive ; le résultat contrôlable ici est la finitude, obtenue parce que le genre calculé vaut exactement 3.

Face à une équation qui définit une courbe, le premier geste est d’identifier le corps des coordonnées, de passer au cadre projectif lisse pertinent et de calculer le genre. Si ce genre atteint 2, Faltings transforme une recherche potentiellement infinie en un problème portant sur un ensemble fini.

Pour une équation de Fermat à exposant fixé n ≥ 4, la courbe associée a un genre supérieur à 1. Le théorème garantit alors la finitude de ses points rationnels. Pour n = 3, le genre vaut 1 et Faltings ne s’applique pas. Pour décider quels points existent réellement, il faut ajouter des méthodes arithmétiques plus effectives.

Lorsque le genre vaut 0 ou 1, le seuil observable n’est pas franchi. On se tourne respectivement vers une paramétrisation éventuelle ou vers l’arithmétique des courbes elliptiques, car la seule invocation du théorème de Faltings ne donne aucune conclusion.

Finitude et absence de solutions. Faltings dit qu’une courbe de genre au moins 2 possède un nombre fini de points rationnels ; il ne dit pas qu’elle n’en possède aucun. La quartique de l’exemple a déjà quatre points rationnels avec une coordonnée nulle, tout en relevant du théorème.

Théorème de Faltings et dernier théorème de Fermat. Le premier garantit une finitude pour chaque courbe de Fermat d’exposant fixé n ≥ 4. Le second affirme l’absence de solution entière non nulle pour tout n > 2. Le critère qui tranche est donc « un ensemble fini » contre « aucune solution non triviale ».

Le seuil du genre est strict. La conclusion est garantie pour g ≥ 2, pas pour g = 0 ou g = 1. Si le calcul donne l’une de ces deux valeurs, il faut changer d’outil au lieu d’annoncer la finitude.

Une courbe singulière demande une correction exacte. La formule $(d-1)(d-2)\mathrm{/}2(d-1)(d-2)/2$ donne le genre d’une courbe plane lisse de degré d. Pour une courbe singulière, il faut considérer sa normalisation et les invariants des singularités ; la simple somme de leurs multiplicités ne suffit pas en général.

Fini ne signifie pas effectivement connu. Le théorème ne fournit pas à lui seul la liste complète des points rationnels ni une borne uniforme immédiatement calculable. Une recherche qui a trouvé plusieurs points ne peut donc pas s’arrêter en prétendant avoir épuisé l’ensemble.

L’exposant doit rester fixé. Pour l’équation de Fermat, Faltings s’applique directement à chaque courbe d’exposant fixé n ≥ 4 ; pour n = 3, le genre vaut 1. En coordonnées entières, les multiples d’un même triplet représentent le même point projectif ; il faut parler de solutions primitives pour éviter de compter artificiellement une infinité de copies.

Le glossaire courbe algébrique précise l’objet géométrique sur lequel portent les points rationnels et le genre.

L’entrée Genre approfondit l’invariant qui place une courbe sous le seuil g = 2 ou au-dessus.

Le théorème de Fermat permet de distinguer la finitude obtenue par Faltings de l’absence de solutions entières non triviales établie en 1994.