Mordell Louis

En 1913, Louis Mordell étudie des équations où l'on cherche des nombres entiers ou rationnels qui rendent une égalité vraie. L'une d'elles s'écrit y² = x³ + k : le nombre k est fixé, puis on cherche les couples de valeurs x et y qui conviennent. Cette question très concrète ouvre sur l'étude des courbes elliptiques et de leurs points rationnels.

Mordell relie ainsi des calculs sur les nombres à la forme des courbes. Son nom reste attaché à cette équation, à un théorème avec André Weil et à une conjecture devenue le théorème de Faltings.

Louis Joel Mordell (1888–1972) est un mathématicien spécialiste de théorie des nombres et d'équations diophantiennes, c'est-à-dire d'équations dont on recherche notamment les solutions entières. Né aux États-Unis dans une famille juive d'origine lituanienne, il apprend d'abord les mathématiques en autodidacte, entre au St John's College de Cambridge, puis travaille à Londres, Manchester et Cambridge. Il est naturalisé britannique en 1929.

Trois contributions structurent son héritage. Dès 1913, il étudie l'équation dite de Mordell, dans laquelle les nombres x et y sont les inconnues et k un nombre fixé : $y^2=x^3+ky^2=x^3+k$. En 1917, alors qu'il participe à la Première Guerre mondiale comme statisticien, il démontre que la fonction tau de Ramanujan est multiplicative. Après 1920, à Manchester, il résout une conjecture de Poincaré et travaille en géométrie des nombres.

Mordell formule aussi le théorème de Mordell-Weil sur les points rationnels des courbes elliptiques. Sa conjecture affirme qu'une courbe lisse et projective de genre au moins égal à deux, définie sur un corps de nombres, n'a qu'un nombre fini de points rationnels sur ce corps. Gerd Faltings la démontre en 1983 : elle devient le théorème de Faltings et participe au chemin conduisant au théorème de Fermat-Wiles. Retraité en 1953, Mordell continue de publier et de donner des conférences dans le monde.

Prenons l'équation de Mordell obtenue en fixant k à −2. Elle définit la relation $y^2=x^3-2y^2=x^3-2$. Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe horizontal : une valeur positive de y et son opposé ont le même carré.

Données.
Paramètre fixé : k = −2.
Valeur essayée : x = 3.
Valeurs candidates : y = 5 et y = −5.

Étape 1. Le membre de droite vaut exactement 3³ − 2 = 27 − 2 = 25.

Étape 2. Le carré de 5 vaut 25. Le carré de −5 vaut également 25.

Résultat. Les couples (3, 5) et (3, −5) vérifient l'équation ; ce sont donc deux points entiers, et par conséquent rationnels, de la courbe.

Contrôle. La substitution directe redonne 25 des deux côtés. Le couple (1, 1), au contraire, échoue : son membre gauche vaut 1, tandis que son membre droit vaut −1. Chercher des points impose donc de vérifier l'égalité, pas seulement de choisir des coordonnées entières.

Reconnaître une équation de Mordell. Lorsqu'une relation prend la forme y² = x³ + k avec k fixé, le premier geste consiste à substituer les valeurs proposées. Si la forme diffère, il faut éviter de lui donner ce nom sans vérifier qu'une transformation légitime la ramène à cette écriture.

Suivre une filiation historique. Pour situer le travail de Mordell, on associe chaque résultat à son objet : l'équation aux solutions recherchées, Mordell-Weil aux points rationnels des courbes elliptiques, et la conjecture de Mordell aux courbes de genre au moins deux. Cette séparation évite de fondre trois contributions dans un seul énoncé.

Lire un résultat de finitude. Le théorème de Faltings garantit qu'il n'existe qu'un nombre fini de points rationnels dans le cadre annoncé. Pour obtenir effectivement ces points, cette conclusion qualitative ne remplace pas une méthode de recherche ou de vérification.

Équation de Mordell et conjecture de Mordell. La première est la famille d'équations y² = x³ + k étudiée dès 1913. La seconde affirme qu'une courbe lisse et projective de genre au moins deux, définie sur un corps de nombres, n'a qu'un nombre fini de points rationnels sur ce corps. Le type d'objet — une équation particulière ou un énoncé général de finitude — tranche la confusion.

Conjecture de Mordell et théorème de Faltings. Ces deux noms désignent le même résultat à deux moments de son histoire : conjecturé par Mordell, il devient un théorème lorsque Gerd Faltings le démontre en 1983.

Théorème de Mordell-Weil et théorème de Faltings. Tous deux concernent des points rationnels, mais la source rattache le premier aux courbes elliptiques et le second à une finitude pour le genre au moins égal à deux. Le genre annoncé permet de les distinguer.

Le paramètre k doit rester fixé. Dans y² = x³ + k, changer k change l'équation étudiée. Si plusieurs valeurs de k sont mélangées pendant une recherche, les points trouvés n'appartiennent plus nécessairement à la même courbe ; il faut séparer les calculs valeur par valeur.

Entier n'est pas synonyme de rationnel. Les points (3, 5) et (3, −5) sont entiers, donc rationnels, mais une recherche limitée aux entiers peut manquer des coordonnées fractionnaires. Il faut annoncer dès le départ l'ensemble de nombres dans lequel les solutions sont cherchées.

Le seuil de genre est décisif. La conjecture de Mordell citée dans la source concerne le genre supérieur ou égal à deux. Pour un genre inférieur à deux, cette hypothèse manque : on ne peut pas invoquer cet énoncé tel quel et il faut employer un résultat adapté.

Fini ne signifie ni vide ni explicitement connu. Un ensemble fini peut contenir plusieurs points, comme les deux points vérifiés dans l'exemple. Une preuve de finitude ne fournit donc pas automatiquement la liste des points ; une recherche supplémentaire reste nécessaire.

courbe elliptique — Pour préciser l'objet géométrique dont Mordell étudie les points rationnels.

Faltings Gerd — Pour suivre le passage de la conjecture de Mordell au théorème démontré en 1983.

Ramanujan Srinivasa — Pour situer le mathématicien dont Mordell étudie la fonction tau.