Birch et Swinnerton-Dyer (conjecture de)

Sur une courbe elliptique, certains points ont deux coordonnées rationnelles. En partant de tels points, une règle géométrique en fabrique d'autres. Ils forment ainsi un groupe dont le rang mesure le nombre de directions indépendantes nécessaires pour engendrer sa partie infinie.

La même courbe possède une fonction L, objet analytique que l'on étudie près de la valeur 1. La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer affirme que l'ordre d'annulation de cette fonction en ce point est exactement le rang arithmétique. Elle fait donc coïncider deux mesures obtenues par des voies très différentes.

La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, souvent abrégée en conjecture BSD, concerne une courbe elliptique E définie sur le corps des nombres rationnels. Les points de E dont les coordonnées sont rationnelles, auxquels on ajoute le point à l'infini, forment le groupe de Mordell-Weil E(ℚ). Ce groupe est engendré par un nombre fini d'éléments. Sa partie libre possède un rang, noté r : intuitivement, r compte les générateurs indépendants qui ne sont pas de torsion.

À la même courbe est associée une fonction complexe, notée L(E, s), construite à partir de données arithmétiques de la courbe. L'ordre d'annulation en s = 1 est le plus petit entier n tel que la dérivée d'ordre n de la fonction L ne s'annule pas en 1. La conjecture prédit l'égalité suivante :
Le membre de gauche est appelé rang algébrique ; celui de droite, rang analytique.

Ainsi, une valeur L(E, 1) non nulle correspondrait à un rang nul. Un zéro simple en s = 1 correspondrait à un rang égal à 1. L'égalité porte sur toutes les courbes elliptiques sur ℚ, et non sur une seule équation particulière. Elle constitue l'un des sept problèmes du Millénaire.

Soit E une courbe elliptique définie sur ℚ. On note r le rang du groupe de ses points rationnels et L(E, s) sa fonction L. La conjecture affirme :
Autrement dit, si la première dérivée non nulle en 1 est celle d'ordre n, alors le groupe E(ℚ) possède exactement n directions indépendantes dans sa partie libre.

L'énoncé s'applique à une courbe elliptique E définie sur les rationnels. Une équation cubique choisie pour la représenter doit être non singulière : elle ne doit avoir ni pointe ni croisement. Il faut ensuite considérer tous ses points rationnels avec leur loi de groupe, pas seulement ceux que l'on trouve par une recherche bornée. Enfin, l'ordre d'annulation concerne la fonction L associée à cette même courbe, précisément au point s = 1.

Une cubique singulière, par exemple y² = x³, n'est pas une courbe elliptique : la conjecture BSD ne s'y applique pas. De même, compter quelques points rationnels ne donne pas le rang. Il faut établir leur indépendance et contrôler qu'aucun générateur ne manque, ou employer des méthodes arithmétiques adaptées.

Considérons la courbe E d'équation y² = x³ − 2 et le point rationnel P = (3 ; 5). La loi de groupe permet de doubler P par la tangente à la courbe.

1. Le point appartient bien à E, car 5² = 3³ − 2 = 25.

2. La pente de la tangente en P vaut 3 × 3² ÷ (2 × 5) = 27/10.

3. L'abscisse du point doublé est (27/10)² − 2 × 3 = 129/100. Son ordonnée est (27/10) × (3 − 129/100) − 5 = −383/1000. Ainsi, 2P = (129/100 ; −383/1000).

4. Le contrôle donne (−383/1000)² = 146 689/1 000 000 et (129/100)³ − 2 = 146 689/1 000 000. Le nouveau point est donc encore rationnel et appartient à E.

Ce calcul rend visible le côté algébrique de BSD. Il ne détermine pourtant ni le rang complet de E(ℚ), ni l'ordre d'annulation de L(E, s) en 1 : ces deux tâches exigent des arguments supplémentaires.

Pour étudier le côté algébrique, on cherche des points rationnels, puis on vérifie s'ils sont de torsion ou s'ils apportent des directions indépendantes. Cette démarche fournit des candidats au rang ; une simple liste de points ne suffit pas à certifier qu'elle est complète.

Pour le côté analytique, on évalue la fonction L et ses dérivées près de s = 1. Une valeur numérique très petite suggère un zéro, mais ne remplace pas une preuve exacte de son ordre.

On compare ensuite les deux résultats. Lorsque le calcul de points est plus accessible, il guide l'estimation du rang algébrique ; lorsque les données analytiques sont plus nettes, elles suggèrent le nombre de générateurs à rechercher. La conjecture prédit que ces deux démarches aboutissent au même entier.

Avec le théorème de Mordell-Weil. Celui-ci affirme que le groupe E(ℚ) est engendré par un nombre fini de points. BSD va plus loin en reliant le rang de ce groupe au comportement de L(E, s) en 1.

Avec une ellipse. Malgré son nom, une courbe elliptique n'est pas une ellipse. Une équation comme y² = x³ − 2 définit une courbe elliptique lorsqu'elle est non singulière ; l'équation d'une ellipse relève d'une autre famille de courbes.

Avec une égalité déjà démontrée dans tous les cas. Le rang algébrique et le rang analytique sont deux entiers définis différemment. La conjecture BSD est précisément l'affirmation générale qu'ils coïncident.

Un point rationnel ne suffit pas. Il peut être de torsion, donc ne rien ajouter au rang. Il faut montrer qu'il est d'ordre infini et vérifier son indépendance par rapport aux autres points retenus.

Un calcul décimal n'établit pas un zéro. Une approximation de L(E, 1) proche de 0 peut provenir de la précision numérique. Pour conclure à un ordre d'annulation, il faut un contrôle rigoureux de la valeur et des dérivées successives.

Le cas charnière est l'ordre 0. Si L(E, 1) ≠ 0, l'ordre d'annulation vaut 0 et BSD prédit un rang nul. Cela n'affirme pas que E(ℚ) ne contient aucun point : un sous-groupe fini de torsion peut subsister.

L'égalité des rangs n'est que le premier niveau de BSD. Une formulation plus fine étudie aussi le premier coefficient non nul du développement de L(E, s) en 1. Il ne faut pas attribuer automatiquement à l'égalité seule toutes les conséquences de cette version affinée.

La fiche courbe elliptique précise l'objet géométrique, sa non-singularité et la loi de groupe qui structurent les points rationnels étudiés par BSD.

La fiche Rationnels revient sur le corps de nombres auquel doivent appartenir les coordonnées des points du groupe de Mordell-Weil.