corps quadratique

Imaginez que les nombres rationnels forment une boîte de calcul et que l’on y ajoute un nouveau nombre, √2, impossible à écrire comme une fraction. En combinant ce nombre avec des rationnels, on obtient des nombres de la forme a + b√2, où a et b sont rationnels.

Cette boîte agrandie reste un corps : on peut y additionner, soustraire, multiplier et diviser par tout élément non nul. Elle contient deux directions indépendantes, la direction rationnelle et celle de √2, ce qui explique le degré 2.

Une extension de corps est une inclusion d’un corps dans un autre corps. Un corps quadratique est une extension de ℚ, le corps des nombres rationnels, dont le degré vaut 2. Concrètement, on adjoint à ℚ un nombre √d tel que d soit un rationnel qui n’est pas un carré rationnel.

Après réduction éventuelle du paramètre, on peut l’écrire avec un entier d sans facteur carré. Le corps obtenu est noté ℚ(√d) et ses éléments sont exactement les nombres a + b√d, avec a et b rationnels. Le mot « degré 2 » signifie que 1 et √d forment une base de cet espace vectoriel sur ℚ : chaque élément possède une écriture unique sous cette forme.

Si d est positif, √d est réel et ℚ(√d) est un corps réel quadratique. Si d est négatif, √d n’est pas réel et le corps est imaginaire quadratique. Ces corps fournissent un cadre pour étudier les idéaux et les formes quadratiques en théorie algébrique des nombres.

La structure de ℚ(√d) repose sur cinq éléments liés. Le corps de départ ℚ fournit les coefficients rationnels. Le paramètre d détermine le nouveau nombre ajouté. La racine √d est ce nombre, avec (√d)² = d. Les coefficients a et b pondèrent respectivement 1 et √d. Enfin, la base {1, √d} décrit les deux directions nécessaires.

La condition essentielle est que d ne soit pas un carré rationnel ; sinon √d appartiendrait déjà à ℚ et aucune extension de degré 2 ne serait créée. La base impose aussi l’écriture a + b√d, tandis que la relation (√d)² = d permet de réduire chaque produit à cette forme. Ces données suffisent donc à construire les éléments et à effectuer les opérations du corps.

Prenons le cas conducteur ℚ(√2). Les données sont les suivantes : d = 2, a = 1, b = 1, c = 3 et e = −2. On veut multiplier (a + b√2) par (c + e√2).

On développe d’abord les quatre produits : $1\cdot 3+1\cdot (-2\sqrt{2})+\sqrt{2}\cdot 3+\sqrt{2}\cdot (-2\sqrt{2})1\backslash cdot3+1\backslash cdot(-2\backslash sqrt\{2\})+\backslash sqrt\{2\}\backslash cdot3+\backslash sqrt\{2\}\backslash cdot(-2\backslash sqrt\{2\})$.
On remplace ensuite (√2)² par 2 : $3-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2\cdot 23-2\backslash sqrt\{2\}+3\backslash sqrt\{2\}-2\backslash cdot2$.
On réduit les termes rationnels et les termes en √2 : $3-4+\sqrt{2}=-1+\sqrt{2}3-4+\backslash sqrt\{2\}=-1+\backslash sqrt\{2\}$.

Le produit appartient encore à ℚ(√2), car son résultat est de la forme a + b√2, ici −1 + √2. Le contrôle consiste à redévelopper les quatre termes et à vérifier que le terme en (√2)² a bien été remplacé par 2.

Pour reconnaître un corps quadratique, on cherche une extension de ℚ engendrée par une seule racine carrée d’un nombre qui n’est pas un carré rationnel. L’écriture a + b√d permet alors de repérer immédiatement ses éléments.

Pour calculer dans ℚ(√2), on développe les produits puis on remplace chaque occurrence de (√2)² par 2. Cette règle ramène le résultat à la forme a + b√2.

Pour choisir entre un corps réel et un corps imaginaire, on observe le signe de d. Un d positif mène à des nombres réels ; un d négatif conduit à une extension non réelle.

Un corps quadratique ne se confond pas avec une simple racine carrée. √2 est un nombre ; ℚ(√2) est l’ensemble structuré de toutes les expressions a + b√2, avec les opérations héritées et la division par les éléments non nuls. Le cas qui tranche est le produit de deux éléments : le résultat reste dans le corps, alors qu’une racine isolée ne désigne pas un ensemble fermé.

Il ne faut pas non plus confondre extension quadratique et corps quadratique. Une extension quadratique est, plus généralement, toute extension de degré 2 ; la dénomination corps quadratique désigne ici l’extension de ℚ obtenue par une racine carrée d’un rationnel non carré.

Le premier piège concerne d. Si d est un carré rationnel, √d appartient déjà à ℚ : par exemple, √4 = 2, et ℚ(√4) n’est pas une extension de degré 2. Il faut alors choisir un paramètre non carré ou réduire l’écriture à une racine carrée sans facteur carré.

Le signe de d ne suffit pas à décrire toute la structure. Il distingue seulement le cas réel, d > 0, du cas imaginaire, d < 0. Le cas d = 0 est dégénéré : √0 = 0 appartient à ℚ et ne produit aucune extension quadratique.

Enfin, l’expression a + b√d ne permet pas d’utiliser n’importe quels coefficients. La condition a, b ∈ ℚ est indispensable à la description de ℚ(√d) ; des coefficients réels arbitraires formeraient un ensemble bien plus vaste et ne représenteraient plus ce corps quadratique.

Pour prolonger l’étude, le glossaire « Tour d’extension quadratique » montre comment plusieurs extensions de degré 2 peuvent s’enchaîner. Cette perspective aide à situer ℚ(√d) dans une construction plus large et à suivre l’évolution des degrés.

L’article « L’esprit de corps quadratique » propose un prolongement consacré aux idées et aux objets associés à ces corps. Il permet de relier l’exemple ℚ(√2) au rôle des idéaux et des formes quadratiques en théorie algébrique des nombres.